Geometrie und Zahlentheorie

Zusammenfassung

Die Gegenstände, die der mathematischen Analysis als analytisches Äquivalent von Kurven in der Ebene und Flächen im Raum zuwachsen, sind die Funktionen, die als Zuordnung von Zahlen zu Zahlen oder von Zahlen zu Zahlenpaaren analytisch erklärt und unter recht allgemeinen Voraussetzungen über den Charakter dieser Zuordnung den Methoden der mathematischen Analysis unterworfen werden können. Das kommt dann wieder der Geometrie zugute, die sich nun nicht mehr auf die Geraden, Kreise und Kegelschnitte zu beschränken braucht, sondern auch Kurven und Flächen behandeln kann, die den allgemeinen Funktionen der Analysis entsprechen. So entsteht z. B. die Differentialgeometrie der Flächen und daraus dann die Theorie der gekrümmten Räume, die das mathematische Gerüst für die allgemeine Relativitätstheorie ist. Das Fundament, auf dem die Leistung der mathematischen Analysis beruht, haben wir in Abschnitt III (Analytische Geometrie) kennengelernt, und wie weit verzweigt und ergebnisreich dies Gebiet auch ist, die Anwendungen der Mathematik in Physik und Technik vermitteln von dieser Leistung ein Bild, das im großen und ganzen zutreffend ist oder doch wenigstens der Bedeutung der Leistung gerecht wird. Ein durchaus neuartiges Licht wird dagegen auf die inneren Beziehungen von Zahl und Raum und die Einheit der reinen Mathematik, die weder durch den Wechsel der erkenntnistheoretischen Auffassungen des Mathematischen noch durch die Aufgliederung der Mathematik in die Vielzahl ihrer Gebiete betroffen wird, durch die in der analytischen Geometrie angebahnte Ergänzung der Lehre von den Konstruktionen mit Zirkel und Lineal geworfen.