Zusammenfassung
Technologien, bei denen Größenproportionalität vorliegt, haben wir lineare Technologien bzw. Kegeltechnologien benannt (D.II. 1.). Für sie gilt, daß mit v ∈ T auch λv ∈ T, λ ≧ 0 (A.II. 1.). Tritt Additivität hinzu, so haben wir es mit konvexen linearen Technologien bzw. konvexen Kegeltechnologien zu tun. In der Produktionstheorie haben lineare Technologien zunehmend an Bedeutung gewonnen ; da sie besonders geeignet erscheinen, weitere wichtige Zusammenhänge aufzuhellen, sollen sie in diesem Kapitel eingehender besprochen werden. Zuerst wird noch der Fall limitationaler Faktoren diskutiert; dabei wird sich ergeben, daß zwar zwischen ihnen und linearer Technologie wesentliche Zusammenhänge bestehen, daß aber Limitationalität nicht lineare Technologie impliziert und umgekehrt. Im folgenden gilt die erste Vorzeichenkonvention: v i < 0 = x i , i = 1,...,m; ferner sind die grundlegenden Postulate A.I.6. bis A.I.9. sowie A.I.11. in Kraft.
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Literatur
Besondere Aufmerksamkeit haben der Untersuchung limitationaler Faktoren vor allem R. Frisch, E. Schneider und W. Leontief gewidmet.
Bei Produktionsfunktionen mit limitationalen Faktoren mit nur einer erzeugenden Produktion bzw. mehreren erzeugenden Produktionen und keinen Kombinationsmöglichkeiten ist eine Substitutionsrate nicht definiert, da für einen Punkt keine Ableitung definiert ist; zur Substitutionselastizität vgl. S. 53, Fußnote 29.
Dies liegt einmal an den Vereinfachungen durch die Merkmale der Konvexität und der Endlichkeit der Zahl der erzeugenden Produktionen, zum anderen darin, daß es leistungsfähige Rechenverfahren (z. B. die Simplex-Methode) gibt, die geeignet sind, lineare bzw. von diesen abgeleitete Technologien numerisch zu behandeln.
T hätte gleichwertig als Durchschnitt abgeschlossener Halbräume mit Hilfe einer „Durchschnitts’’-definition postuliert werden können. Vgl. hierzu Gale, D.: Convex polyhedral cones and linear analysis of production and inequalities. In: Activity analysis of production and allocation. Cowles Commission Mon. No. 13, p. 289f. Hrsg. von Koopmans, New York, London 1951.
Vgl. hier auch Koopmans, T. C.: Analysis of production as an efficient combination of activities. In: Cowles Com. Mon. No. 13, p. 60f., a. a. O./1951
Zu den Beweisen vgl. z. B. Gale: a. a. O., Theorem 5 und Gerstenhaber, M.: Theory of convex polyhedral cones. In: Cowles Comm. Mon. No. 13, a. a. O.,/1951 Theoreme 13 und 17.
Vgl. den Beweis zu Theorem 4.3 von Koopmans, a. a. O., S. 61 ff.
Hildenbrand, W.: Mathematische Grundlagen zur nichtlinearen Aktivitätsanalyse. Unternehmensforschung 10, 67ff. (1966).
Vgl. in diesem Zusammenhang auch die Beschreibung von Facetten bei Gerstenhaber, a. a. O., S. 312 ff.
Zu den Beweisen vgl. Hildenbrand, a.a.O., S. 67 ff. ; Gerstenhaber, a. a. O., S. 312ff.; Koopmans, a. a. O., S. 64f.
Als lineare Mannigfaltigkeit im R ι sei eine Teilmenge des R ι verstanden, die aus allen Elementen z 0 + v , v aus einem linearen Teilraum von R ι, besteht (vgl. Köthe, a. a. O., S. 53).
So liegt z. B. die Produktion v 1 in Abb. 39 nicht im Inneren von T, aber im relativen Inneren der Halbgeraden, die einen eindimensionalen Raum aufspannt; v 1 ist eine interne Produktion dieser Facette, die Nullproduktion hingegen nicht.
Ein Punkt u heißt Extremalpunkt einer konvexen Menge M, wenn u nicht auf einem Intervall zwischen zwei Punkten von M liegt. Z. B. ist die Nullproduktion Extremalpunkt von T.
Vgl. hierzu insbesondere Hildenbrand, a. a. O., S. 67ff.
Auf Tangenten durch effiziente Produktionen können wieder positiv gerichtete Normalen errichtet werden.
u ist Flachpunkt des Randes einer konvexen Menge M, wenn durch u genau eine Stützhypermannigfaltigkeit hindurchgeht (Köthe, a. a. O., S. 349).
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Wittmann, W. (1968). Lineare Technologien. In: Produktionstheorie. Ökonometrie und Unternehmensforschung / Econometrics and Operations Research, vol 11. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-87949-4_6
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