Résumé
La théorie générale des groupes algébriques semi-simples sur un corps K quelconque (racines, groupe de Weyl, sous-groupes paraboliques, BN-paire associée à un sous-groupe parabolique minimal, etc) est maintenant bien connue (cf. [2] et [12]). Notre but est d’exposer une théorie analogue lorsque K est un corps local de corps résiduel k. Un groupe algébrique simple simplement connexe G défini sur K apparait alors comme une sorte de «groupe algébrique de dimension infinie» sur le corps résiduel, plus précisément comme une limite inductive de limites projectives de variétés algébriques sur k. En particulier, on obtient dans G K une BN-paire (B, N) de groupe de Weyl en général infini (isomorphe au groupe de Weyl affiine d’un système de racines), qui est caractérisée (lorsque G n’est pas anisotrope sur K) par la propriété suivante: un sous-groupe de G K est borné (au sens de la valuation de K) si et seulement si il est contenu dans la réunion d’un nombre fini de doubles classes modulo B. Ceci permet la classification (a automorphismes intérieurs près) des sousgroupes bornés maximaux (c’est-à-dire des sous-groupes compacts maximaux lorsque K est localement compact) de G K : on trouve qu’il y en a exactement l+1 classes, où l est le rang relatif de G sur K.
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Bruhat, F., Tits, J. (1967). Groupes algébriques simples sur un corps local. In: Springer, T.A. (eds) Proceedings of a Conference on Local Fields. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-87942-5_3
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