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Sur les groupes de Galois attachés aux groupes p-divisibles

  • J.-P. Serre

Résumé

Soit Kun corps local de caractéristique 0 et de caractéristique résiduelle p, et soit C la complétion d’une clôture algébrique de K. Soit T le module de Tate ([9], n° 2.4) associé à un groupe p-divisible F, défini sur l’anneau des entiers de K. Tate a montré ([9], § 4, cor. 2 au th. 3) que T⊗C possède une décomposition analogue à celle de Hodge pour la cohomologie complexe. De nombreuses propriétés du module galoisien T sont implicitement contenues dans cette décomposition. Dans son séminaire au Collège de France, résumé dans [8], Tate en a indiqué un certain nombre (notamment lorsque l’action du groupe de Galois est abélienne). Dans ce qui suit, j’explicite une autre conséquence de cette décomposition de T⊗C; si G est le groupe de Galois qui opère sur T, l’enveloppe algébrique de G contient (sous une hypothèse de semi-simplicité convenable) un groupe «de Mumford-Tate» p-adique (§ 3, ths. 1 et 2). Lorsqu’on fait certaines hypothèses supplémentaires sur F, on en déduit que G est ouvert dans Aut (T) (cf. § 5, th. 4). Ces hypothèses sont notamment vérifiées lorsque F est un groupe formel à 1 paramètre, n’admettant pas de multiplication complexe formelle (§ 5, th. 5).

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1967

Authors and Affiliations

  • J.-P. Serre

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