Die optimale, altersabhängige Erneuerungspolitik in Systemen mit vernachlässigbaren Erneuerungszeiten

Zusammenfassung

Vorgegeben sei ein Instandhaltungssystem der Charakteristik I₁-I₇ mit vernachlässigbar kleinen Erneuerungszeiten, das für die Dauer T (T<∞) kontinuierlich betrieben werden soll. Zu Anfang werde eine neuwertige Einheit eingesetzt. Eine ausfallsbedingte Erneuerung verursacht feste Kosten in Höhe von C_f, während sie für eine vorbeugende Erneuerung nur C_p betragen (C_f>C_p≥0). Unter der Basispolitik läßt sich die zeitliche Entwicklung des Systems als ein einfacher, normaler Erneuerungsprozeß {X _ν , ν = 1,2,…} über dem Intervall [0, T] darstellen, in dem Instandhaltungskosten der Höhe H(T) · C_f zu erwarten sind. Gesucht wird die altersabhängige Politik p, die im Augenblick der Vollendung einer (ausfallsbedingten oder vorbeugenden) Erneuerung in Abhängigkeit von der restlichen Prozeßdauer t, 0≤t≤T, den Zeitpunkt ¹⁾ y_t = p(t), zu dem die nächste vorbeugende Erneuerung vorzunehmen ist (sofern die Einheit bis dahin nicht ausfiel), in der Weise festlegt, daß die während der Restprozeßdauer t zu erwartenden Gesamtkosten K[p(t)] minimiert werden. Die Kostenminimierung über die verbleibende Prozeßdauer [T-t, T] nach Jeder Erneuerung ist hinreichend für die Erzielung des Minimums über [0,T], da voraussetzungsgemäß die störungsfreien Laufzeiten X _ν einen normalen Erneuerungsprozeß mit nicht-arithmetischer Verteilung F der Zufallsvariablen X_ν bilden und die in den Regenerationspunkten (Übergangspunkten) ²⁾ des Prozesses anfallenden Kosten C_f bzw. C_p von der bisherigen Prozeßentwicklung unabhängige Größen der additiven Zielfunktion K[p(t)] — einem Funktional — sind (Optimalitätsprlnzip)¹⁾. Mit der optimalen Politik p* für einen Prozeß der Dauer T hat man daher auch die optimale Politik für alle Prozesse von kürzerer Dauer bestimmt. Das Verfahren von BARLOW-PRO-SCHAN nutzt diese Tatsache aus, indem p* für wachsende t durch sukzessive Approximation entwickelt wird. ²⁾