Die Simplexmethode

Überblick

Die Normalform des in § 3–8 entwickelten mathematischen Problems der linearen Programmierung bestellt darin, für eine Menge nichtnegativer Variablen Werte zu finden, die einem System linearer Gleichungen genügen und eine Linearform z minimieren.

Wir unterscheiden zwischen der Simplexmethode, die mit einem linearen Programmierungsproblem in Normalform beginnt, und dem Simplexalgorithmus, der mit einer kanonischen Form beginnt, aus einer Folge von Pivot-Operationen besteht und das hauptsächliche Teilverfahren der Simplex methode darstellt.

Bei der Simplexmethode besteht der erste Schritt in der Einführung gewisser künstlicher Variablen in die Normalform. Das so erhaltene Hilfsproblem ist in kanonischer Form. Danach wird der Simplexalgorithmus angewandt. Er besteht aus einer Folge von Pivot-Operationen, die als Phase I bezeichnet wird, durch die man eine Folge verschiedener kanonischer Formen bestimmt. Die Aufgabe besteht nun darin, eine zulässige Lösung zu finden, vorausgesetzt daß eine existiert. Wenn die letzte kanonische Form eine solche Lösung ergibt, wird der Simplexalgorithmus wiederum bei einer zweiten Folge von Pivot-Operationen angewandt, was als Phase II bezeichnet wird. Die Aufgabe ist jetzt, eine optimale zulässige Lösung zu finden, vorausgesetzt daß sie existiert.

Im folgenden §5-1 wird der Simplexalgorithmus beschrieben; eine Anwendung als Teil der Simplexmethode wird in § 5-2 entwickelt.