Konvexe Programmierung

Zusammenfassung

Kuhn und Tucker betrachteten in ihrer Veröffentlichung „Nonlinear Programming“ [1950-2] [Tucker, 1957-1] das Problem der Minimierung einer konvexen Funktion mit Variablen x₁, x₂, ..., x_n unter der Bedingung, daß die von einem System konkaver Funktionen in diesen Variablen angenommenen Werte nichtnegativ sind. Sie bewiesen, daß die Methode der Multiplikatoren von Lagrange in geeigneter Weise auf Ungleichungsrestriktionen für konkave Funktionen (siehe die Beschreibung in § 6-5) verallgemeinert werden kann, wenn diese konkaven Funktionen differenzierbar sind. Wir werden das negative dieser konkaven Funktionen, nämlich konvexe Funktionen (siehe § 7-1 und Abbildung 7-1-VIII), verwenden, deren Werte nichtpositiv sein müssen. Unter Benutzung von Slater (1950-1) und Uzawa [1958-1] wollen wir zeigen, das diese Ergebnisse sogar richtig bleiben, wenn die Funktionen nicht differenzierbar sind, vorausgesetzt daß (a) als Variationsbereich nur eine abgeschlossene beschränkte konvexe Menge R zugelassen ist, (b) wenigstens ein Punkt existiert, an dem die konvexen Funktionen sämtlich negativ sind und (c) die konvexen Funktionen in R stetig¹ sind. Wir wollen auch ein konstruktives Rechenverfahren zum Lösen solcher Systeme beschreiben, das auf der Idee der verallgemeinerten Programmierung aufgebaut ist. Philip Wolfe diskutierte diesen Gedanken zuerst auf dem RAND-Symposium über mathematische Programmierung 1959 unter der Annahme konvexer Zielfunktionen, und auf der gleichen Tagung trug H. O. Hartley über den Fall variabler Koeffizienten in einer Spalte von besonderer Form vor. Der erste Konvergenzbeweis findet sich bei Dantzig [1960-3], man vergleiche ebenfalls A. C. Williams [1960-1].