Doppelperiodische Felder

Zusammenfassung

Strömungsvorgänge, die sich innerhalb eines Parallelstreifens mit undurchlässigen Wänden abspielen, ergeben bei ihrer Fortsetzung durch Spiegelung an diesen Wänden periodisch sich wiederholende Vorgänge (Bild 145 links). Entsprechend ergeben Strömungsvorgänge, die sich innerhalb eines Rechtecks mit undurchlässigen Wänden abspielen, bei ihrer Fortsetzung durch Spiegelung an diesen Wänden Vorgänge, die nach zwei zueinander senkrechten Richtungen periodisch sind. Man nennt solche Anordnungen doppelperiodisch. Man kann solche Vorgänge behandeln, indem man das Rechteck auf eine Halbebene abbildet. Die Grundlagen dazu haben wir in Ziffer 68 kennengelernt. Darnach wird die obere Halbebene (τ-Ebene) durch ein elliptisches Integral 1. Gattung

$$z\left( \tau \right) = \int\limits_o^\tau {\frac{{d\tau }}{{\sqrt {\left( {1 - {\tau ^2}} \right)\left( {1 - {K^2}{\tau ^2}} \right)} }}}$$

in das Innere eines Rechtecks der z-Ebene übergeführt. Für die Behandlung der Vorgänge in einem Rechteck muß man nun aber umgekehrt ein gegebenes Rechteck auf die r-Ebene abbilden. Dazu braucht man die Umkehrung dieser Funktion, also r(z). Wie schon früher bemerkt, ist aber die Umkehrfunktion nicht einfach anzugeben, weil z(r) nur durch ein Integral darstellbar ist. Solche Umkehrungen ergeben neue Funktionen. Die Umkehrungen der elliptischen Integrale nennt man elliptische Funktionen.