Optisches Filtern und Formenerkennung

Zusammenfassung

Bei der Untersuchung von Beugungserscheinungen treffen wir häufig auf das folgende Problem (Fig. 5.1): wenn die komplexe Verteilung der Amplituden F(η,ξ) im Inneren einer Öffnung T, die sich in einer Ebene A befindet, bekannt ist, so soll die Verteilung der Amplituden in einer Ebene B, die die Entfernung l von A hat, berechnet werden. Die Fresnel-Kirchhoffsche Gleichung erlaubt die Lösung dieses Problems. Es sei λ die Wellenlänge des verwendeten Lichts und r der Abstand eines Punktes M(η, ξ) von A zu einem Punkte P(y, z) von B. Die Amplitude f(y, z) in P ist:

$$f(y,z)=\frac{1}{j\lambda }\iint\limits_{T}{F}(\eta ,\xi )\frac{{{e}^{jKr}}}{r}d\eta d\xi ,$$

(5.1)

wobei T die freie Öffnung in der Ebene A ist. Wir nehmen an, daß die Öffnung T klein ist im Verhältnis zu der Entfernung l. Durch Reihenentwicklung finden wir:

$$r=\sqrt{{{l}^{2}}+{{(y-\eta )}^{2}}+{{(z-\xi )}^{2}}}\simeq l[1+\frac{1}{2}{{(\frac{y-\eta }{l})}^{2}}+\frac{1}{2}{{(\frac{z-\xi }{l})}^{2}}],$$

(5.2)

woraus für die Amplitude in P folgt:

$$f(y,z)=\frac{{{e}^{jKl}}}{j\lambda l}\iint\limits_{T}{F}(\eta ,\xi ){{e}^{j\frac{K}{2l}[{{(y-\eta )}^{2}}+{{(z-\xi )}^{2}}]}}d\eta d\xi ,$$

(5.3)

da r durch l in dem Nenner von (5.1) ersetzt werden kann. Die Amplitude f (y, z) wird als eine Konvolution zweier Funktionen angesehen, und wir schreiben symbolisch:

$$f(y,z)=\frac{{{e}^{jKl}}}{j\lambda l}F(y,z)\otimes {{e}^{j\frac{K}{2l}({{y}^{2}}+{{z}^{2}})}}$$

(5.4)

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