Vorbereitendes aus der Potentialtheorie

  • Leon Lichtenstein
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 30)

Zusammenfassung

Es sei T irgendein einfach oder mehrfach zusammenhängendes räumliches Gebiet. Eine Funktion U (x, y,z), die sich in T nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung stetig verhält und der Differentialgleichung
$$\Delta U = \frac{{\partial ^2 U}} {{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 U}} {{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^{^2 } U}} {{\partial z^2 }} = 0,$$
(1)
der Laplaceschen Differentialgleichung, genügt, nennen wir eine in T reguläre Potentialfunktion. Ist speziell U von z unabhängig, während zugleich T einen Zylinder darstellt, dessen Mantelfläche der z-Achse parallel verläuft, so erhalten wir
$$\frac{{\partial ^2 U}} {{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 U}} {{\partial y^2 }} = 0.$$
(2)

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Hinweise

  1. 12.
    Was den Beweis der in 7, angegebenen Sätze betrifft, vergleiche die in meinem Encyklopädieartikel II C 3, S. 206-209 zusammengestellte Literatur, insbes. A. Korn, Sur les équations de l’élasticité, Annales de l’’École Normale (3) 24 (1907), S. 12–42.MathSciNetGoogle Scholar
  2. siehe ferner L. Lichtenstein, Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie I. Math. Zeitschr. 23 (1925), S. 72–88, sowie die beiden letzten in der Fußnote27 des elften Kapitels genannten Arbeiten von N. M. Günther.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  3. 15.
    Transformationen dieser Art sind in der Theorie des Newtonschen und logarithmischen Potentials mit Erfolg von H. Petrini vielfach benutzt worden. Vgl. H. Petrini, Acta Mathematica 31 (1908), S. 127–332.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  4. H. Petrini, Journal de Mathématiques (6) 5 (1909), S. 127–223.Google Scholar
  5. 16.
    Vgl. L. Lichtenstein, Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie. III. Berichte der Sächsischen Akademie 58 (1926), S. 213–239, insbes. S. 231.Google Scholar
  6. 22.
    Die zuletzt angeführten Sätze, die sich bei Behandlung mancher Existenzprobleme der Hydrodynamik als fundamental erweisen, sind in der endgültigen Fassung von A. Korn (für Bereiche der Klasse B und Bh) angegeben worden. Man vergleiche A. Korn, Sur les équations de l’élasticité, Annales de l’École Normale (3) 24 (1907), S. 9–75 insbes. S. 12-42 und die Bemerkungen am Schluß der §§ 2 und 3 des I. Kapitels. Ein vollständiger Beweis findet sich an der bezeichneten Stelle, den speziellen Zwecken der Abhandlung entsprechend, für Bereiche der Klasse B durchgeführt. Ein ins einzelne gehender Beweis der zweiten Ungleichheit (107) (in der Ebene) findet sich im Rahmen gewisser weitergehender Betrachtungen bei.MathSciNetGoogle Scholar
  7. L. Lichtenstein, Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie, I. Math. Zeitschr. 23 (1925), S. 72 bis 88, insbes. S. 83–88.Google Scholar
  8. Man vergleiche ferner N. M. Günther, Über ein Hauptproblem der Hydrodynamik, Math. Zeitschr. 24 (1925), S. 448–499, insbes. S. 480-499, sowie die in der Fußnote17 des elften Kapitels an letzter Stelle genannte Arbeit, woselbst räumliche Bereiche der Klasse Ah betrachtet werden. Ältere Literatur siehe loc. cit.12.MATHCrossRefGoogle Scholar

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© Julius Springer in Berlin 1929

Authors and Affiliations

  • Leon Lichtenstein
    • 1
  1. 1.Universität LeipzigDeutschland

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