Zusammenfassung
Es sei T irgendein einfach oder mehrfach zusammenhängendes räumliches Gebiet. Eine Funktion U (x, y,z), die sich in T nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung stetig verhält und der Differentialgleichung
der Laplaceschen Differentialgleichung, genügt, nennen wir eine in T reguläre Potentialfunktion. Ist speziell U von z unabhängig, während zugleich T einen Zylinder darstellt, dessen Mantelfläche der z-Achse parallel verläuft, so erhalten wir
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Hinweise
Was den Beweis der in 7, angegebenen Sätze betrifft, vergleiche die in meinem Encyklopädieartikel II C 3, S. 206-209 zusammengestellte Literatur, insbes. A. Korn, Sur les équations de l’élasticité, Annales de l’’École Normale (3) 24 (1907), S. 12–42.
siehe ferner L. Lichtenstein, Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie I. Math. Zeitschr. 23 (1925), S. 72–88, sowie die beiden letzten in der Fußnote27 des elften Kapitels genannten Arbeiten von N. M. Günther.
Transformationen dieser Art sind in der Theorie des Newtonschen und logarithmischen Potentials mit Erfolg von H. Petrini vielfach benutzt worden. Vgl. H. Petrini, Acta Mathematica 31 (1908), S. 127–332.
H. Petrini, Journal de Mathématiques (6) 5 (1909), S. 127–223.
Vgl. L. Lichtenstein, Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie. III. Berichte der Sächsischen Akademie 58 (1926), S. 213–239, insbes. S. 231.
Die zuletzt angeführten Sätze, die sich bei Behandlung mancher Existenzprobleme der Hydrodynamik als fundamental erweisen, sind in der endgültigen Fassung von A. Korn (für Bereiche der Klasse B und Bh) angegeben worden. Man vergleiche A. Korn, Sur les équations de l’élasticité, Annales de l’École Normale (3) 24 (1907), S. 9–75 insbes. S. 12-42 und die Bemerkungen am Schluß der §§ 2 und 3 des I. Kapitels. Ein vollständiger Beweis findet sich an der bezeichneten Stelle, den speziellen Zwecken der Abhandlung entsprechend, für Bereiche der Klasse B durchgeführt. Ein ins einzelne gehender Beweis der zweiten Ungleichheit (107) (in der Ebene) findet sich im Rahmen gewisser weitergehender Betrachtungen bei.
L. Lichtenstein, Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie, I. Math. Zeitschr. 23 (1925), S. 72 bis 88, insbes. S. 83–88.
Man vergleiche ferner N. M. Günther, Über ein Hauptproblem der Hydrodynamik, Math. Zeitschr. 24 (1925), S. 448–499, insbes. S. 480-499, sowie die in der Fußnote17 des elften Kapitels an letzter Stelle genannte Arbeit, woselbst räumliche Bereiche der Klasse Ah betrachtet werden. Ältere Literatur siehe loc. cit.12.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Lichtenstein, L. (1929). Vorbereitendes aus der Potentialtheorie. In: Grundlagen der Hydromechanik. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 30. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-86892-4_3
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