Vorbereitendes aus der Potentialtheorie

Zusammenfassung

Es sei T irgendein einfach oder mehrfach zusammenhängendes räumliches Gebiet. Eine Funktion U (x, y,z), die sich in T nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung stetig verhält und der Differentialgleichung

$$\Delta U = \frac{{\partial ^2 U}} {{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 U}} {{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^{^2 } U}} {{\partial z^2 }} = 0,$$

((1))

der Laplaceschen Differentialgleichung, genügt, nennen wir eine in T reguläre Potentialfunktion. Ist speziell U von z unabhängig, während zugleich T einen Zylinder darstellt, dessen Mantelfläche der z-Achse parallel verläuft, so erhalten wir

$$\frac{{\partial ^2 U}} {{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 U}} {{\partial y^2 }} = 0.$$

((2))