Extremalprinzipien im Kurven- und Flächendesign

Zusammenfassung

Freiformflächen sind ein wesentlicher Bestandteil von leistungsfähigen CAD-Systemen. Ein zentrales Thema ist dabei die Konstruktion glatter Kurven und Flächen, die unmittelbar dem NC-Prozess zugeführt werden können. Im Rahmen dieser Publikation geben wir einen kurzen Überblick über erprobte Modellierungs-Methoden, die unter Verwendung von Extremalprinzipien entwickelt wurden und stellen außerdem neue Techniken vor, die auf Variationsansätzen beruhen.

Grundlage dieser Verfahren ist stets die Herleitung von Modellierungswerkzeugen (Kurven oder Flächen), die in einer Klasse von Vergleichskurven oder -flächen ein Funktional minimieren, das eine erwünschte physikalische oder geometrische Eigenschaft widerspiegelt. Im Kurvenfall wird als physikalisches Modell ein dünner elastischer Stab zugrundegelegt, der stets bestrebt ist, eine Lage minimaler Biegeenergie einzunehmen.

Nach D. Bernoulli (1742) ist die elastische Energie eines solchen Stabes dem Integral

$$ \int\limits_a^b {{k^2}\left( t \right)\left| {x'\left( t \right)} \right|dt} $$

proportional. Die kubische Splinekurve ist somit eine Näherung der Biegelinie eines derartigen Stabes, der durch eine Reihe fester Stützstellen geführt wird. In Abschnitt 1 werden die klassischen Splineverfahren und die gewichteten Splinemodellierungen kompakt vorgestellt. Der zweite Abschnitt gibt eine Übersicht über die Splines in tension und die polynomialen Alternativen. Neuere Resultate über nichtlineare Splines sind Gegenstand des dritten Kapitels, wogegen nichtlineare Splines in tension in Abschnitt 4 behandelt werden. Auf weitere Extremalprinzipien wie Ruck- und Last-minimierung wird in diesem Artikel nur verwiesen, da sie Gegenstand des Beitrags von H. Nowacki sind.

Variationsprinzipien sind auch im Flächenfall sinnvoll. In Kapitel 6 wird ein optimaler Krümmungsinput für Flächen abgeleitet, der sich aus der Minimierung des Integrals über die Quadratsumme der Hauptkrümmungen ergibt.

Diese Publikation hat zum Ziel einen möglichst fundierten Überblick zu geben. Ein Eingehen auf alle Details würde jeden Rahmen sprengen, daher wurde ein ausführliches Literaturverzeichnis beigefügt.