Periodische Funktionen

Zusammenfassung

Man deute die komplexen Zahlen z in der bekannten Weise als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene. Ist dann x eine reelle Zahl zwischen −∞ und +∞, und multipliziert man jede komplexe Zahl z mit e^ix, so gehen die entsprechenden Punkte z in neue Punkte z’

$$z' = ze^{ix}$$

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über. Geometrisch bedeutet diese Abbildung der komplexen Zahlenebene auf sich eine Drehung um den Punkt z = ò durch den Winkel x. Diese Drehungen bilden eine Gruppe ℭ. Man kann ℭ auch deuten als Gruppe der Drehungen des Einheitskreises in der z-Ebene mit dem Punkt z = o als Mittelpunkt. Analytisch wird man die Elemente der Gruppe durch die reellen Zahlen x repräsentieren, d. h. wir werden zukünftig von Drehungen x; aus ℭ sprechen und meinen dann also eine Drehung z. B. des Einheitskreises in sich um den Winkel x. ES ist aber zu beachten, daß verschiedenen Zahlen x; und x’ unter Umständen gleiche Drehungen aus ℭ entsprechen können. Das ist offenbar dann und nur dann der Fall, wenn

$$x \equiv x'\;\;\;\bmod 2\pi .$$