Zusammenfassung
Im zweiten Kapitel wurden nur einzelne Entscheidungen des Zufalls abgehandelt. Dabei ist als eine einzelne Entscheidung auch die zahlenmäßige Verteilung der Ergebnisse in einer endlichen Anzahl von unter sich gleichen Versuchen angesehen worden.
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Literatur
Lévy, P.: Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. 27. Paris: Gauthier-Villars 1948.
Blanc-Lapierre, A. & R. Fortet: Théorie des Fonctions Aléatoires. 75. Paris: Masson 1953.
Lévy, P.: Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. 37. Paris: Gauthier-Villars 1948.
Eine strenge mathematische Betrachtung enthält:
Dynkin, E. B.: Die Grundlagen der Theorie der Markoffschen Prozesse. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1961.
Fano, R. M.: Transmission of Information. 104–114. New York: MIT-Press 1961.
Vergl.: Wiener, N.: Nonlinear Problems in Random Theory. 1–15. New York: The Technology Press of MIT 1958.
Lévy, P.: Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. Paris: Gauthier-Villars 1948.
Blanc-Lapierre, A. et Fortet, R.: Théorie des Fonctions Aléatoires. Paris: Masson & Cie 1953.
Doob, J. L: Stochastic Processes. New York: J. Wiley & Sons 1953.
S. z. B.: Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. I, 247. Basel: Birk-häuser 1950.
Wenn man den Begriff Frequenz technisch als die Anzahl der Perioden pro Sekunde auffaßt, verschwinden die negativen Frequenzen und die von diesen eingenommene Hälfte der Bandbreite. Technisch enthält also ein Band von der Breite B höchstens 2 BT orthogonale Signale.
Dieses Ergebnis zieht unmittelbar das sogenannte Abtasttheorem der Informationstheorie nach sich, das daher nicht mehr besonders bewiesen werden muß.
Der Differentialquotient ist symbolisch durch den darüber gesetzten Punkt angedeutet worden.
S. a.: §34.
Man kann dies leicht dadurch zeigen, daß man die Gleichung (52) nochmals für die konjugiert komplexen Größen hinschreibt und dann beide Gleichungen miteinander multipliziert.
Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. I, 85. Basel: Birkhäuser 1950.
Doetsch, G.: Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. 226. Basel: Birkhäuser 1958.
Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. I, 87. Basel: Birkhäuser 1950.
Vergl.: Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. I, 516. Basel: Birk-häuser 1950.
Bode, H. W.: Network Analysis and Feedback Amplifier Design. 303 ff. New York: Van Nostrand 1945.
Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. I, 224. Basel: Birkhäuser 1950.
Paley-Wiener: Fourier-Transforms in the Complex Domain. 14–20. New York: American Mathematical Society 1934.
Bode, H. W.: Network Analysis and Feedback Amplifier Design. 303 ff. New York: Van Nostrand 1945.
›Holomorph‹ ist ein Ausdruck, der dasselbe bedeutet wie ›regulär analytisch‹
Zur Technik der Bemessung solcher Systeme muß auf die zahlreichen Werke über Netzwerksynthese hingewiesen werden: Z. B.:
Guillemin, E. A.: Synthesis of Passive Networks. New York: J. Wiley 1957.
Storer, J. E.: Passive Network Synthesis. New York: McGraw-Hill 1957.
Tuttle, D. E.: Network Synthesis. New York: J. Wiley 1958.
Der Kuriosität halber sei auch vermerkt, daß es ein überraschend einfaches technisches Verfahren gibt, die Laufzeitverzerrung auzugleichen, indem man als Entzerrer nicht ein komplementäres System sondern eine Nachbildung verwendet, dafür aber im Pro-zeß selbst der Zeit ein umgekehrtes Vorzeichen gibt. Das ist technisch durch einen Zwischenspeicher (Magnetband) möglich, aus dem abschnittweise die Elementarereignisse (Energiepakete) in der umgekehrten zeitlichen Reihenfolge abgerufen werden. Selbstverständlich ist hinter dem »Entzerrer« nochmals eine abschnittweise Umkehr der Zeitrichtung erforderlich (Rückwärtsabspielen).
S.z. B.: Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. I, 249. Basel: Birk-häuser 1950.
Bei der dargestellten Anordnung ist es nicht möglich, τ bis zum Wert Null oder zu negativen Werten hin veränderlich zu machen. Dieser Fehler kann durch eine naheliegende Verbesserung (gleichzeitige Aufnahme auf zwei verschiedenen Spuren) leicht beseitigt werden.
Diese Tatsache liegt im Wesen der Wahrscheinlichkeit begründet und wird häufig genug übersehen. Selbstverständlich kann man dann mit Statistik wirklich »alles« beweisen.
Dem Leser wird empfohlen, selbst die Korrelation zwischen zwei Versuchsreihen endlicher Länge kritisch zu untersuchen.
Hierbei ist stillschweigend eine lineare Abhängigkeit vorausgesetzt worden. Es kann aber im Bereich der Zufallsprozesse durchaus auch Abhängigkeiten geben, die nicht mehr linear sind.
Es liegt offenbar ein ähnlicher Zusammenhang vor wie zwischen den Schwingungsvorgängen und den komplexen Rechenverfahren: Die komplexe Rechnung wird nicht etwa deshalb erforderlich, weil die physikalisch auftretenden Größen komplex wären (was sie in Wirklichkeit nicht sind), sondern es bestehen in der Physik zwischen bestimmten Größenpaaren die gleichen Zusammenhänge, die in der Mathematik bei Funktionen komplexer Größen auftreten. Die Beobachtung liefert dagegen immer nur eine reelle Anzahl von Maßeinheiten, also reelle Größen.
Unabhängig bedeutet hier: physikalisch unabhängig, durch einen Zufallsmechanismus erzeugt, der mit dem der ersten Folge in keinerlei wirklichem Zusammenhang steht.
Hierbei wurde das Buch: Giloi-Lauber: Analogrechnen. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1963; zugrunde gelegt.
Selbstverständlich ist diese Rechnung mathematisch nicht streng richtig, kann aber trotzdem technisch gute Dienste leisten.
Es wurde das negative Vorzeichen für τ benutzt, um eine normale Übereinstimmung mit der Faltung zu erreichen.
Wir bezeichnen die Zeitfunktion mit x(t), deren Laplace-Transformierte mit X(s) und müssen daher die Fourier-Transformierte X(2πf) mit einem etwas anderen Symbol X schreiben.
Duschek, A.: Vorlesungen über höhere Mathematik. II, 309. Wien: Springer 1950.
z. B.: Schlitt, H.: Systemtheorie regelloser Vorgänge. 73–90. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1960.
Ziel, A. van der: Noise. New York: Prentice-Hall 1954.
— Truxal, J. G.: Automatic Feedback Control System Synthesis. New York: McGraw-Hill 1955; Entwurf automatischer Realsysteme. München: Oldenbourg 1960.
— Laning, and Battin: Random Processes in Automatic Control. New York: McGraw-Hill 1956.
— Davenport, and Root: Random Signals and Noise. New York: McGraw-Hill 1960.
— Kotel’nikov: The Theory of Optimum Noise Immunity. (Übers. a. d. Russ.). New York: McGraw-Hill 1959.
— Stewart, J. L.: Fundamentals of Signal Theory, New York: McGraw-Hill 1960.
— Schlitt, H.: Anwendung statistischer Verfahren in der Regelungstechnik. München: R. Oldenbourg 1962.
Brillouin, L.: Science and Information Theory. New York: Academic Press 1956.
Peters, J.: Geltungsbereich und Anwendbarkeit der Informationstheorie außerhalb der Nachrichtentechnik. NTZ 10, 621–625 (1963).
Meyer-Eppler, W.: Grundlagen und Anwendungen der Informations-Theorie. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1959.
Dem Vorwort wird als Motto ein Ausspruch von N. Wiener vorangestellt: »Information is information, not matter or energy. No materialism which does not admit this can survive at the present day.«
Auf den S. 61 u. 63 befindet sich die bekannte, im wesentlichen auf Shannon zurückgehende Auffassung von der Analogie des Entropiebegriffes der Informationstheorie zu dem in der Physik.
Steinbuch, K.: Automat und Mensch. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1961.
Die entgegenstehenden Urteile von Künstlern beruhen stets auf subjektiven Behauptungen, nicht auf Schlußfolgerungen aus objektiv gesicherten Versuchsergebnissen. Statt der Überlegungen findet der Leser Appelle an das Emotionale in ihm vor, denen er leicht ohne inneren Widerspruch erliegt. Ein Beispiel für viele: Besele, H. v.: Das Klavierspiel, 16. Kassel: Bärenreiter-Verlag 1965: »Physikalische Fragen können hier nicht behandelt werden, jedoch muß zu der Behauptung E. Tetzels, die Klangfärbung sei auf dem Klavier durch Anschlagsart nicht zu beeinflussen, es gäbe nur Unterschiede in der Tonstärke, Stellung genommen werden… Es gab immer große Künstler, unter deren Händen das Klavier zu singen vermochte… Und Mikuli berichtet über das Spiel seines Lehrers Chopin: ›Unter seinen Händen brauchte das Klavier weder die Violine um ihren Bogen, noch die Blasinstrumente um den lebendigen Atem zu beneiden. So wunderbar verschmolzen die Töne wie im schönsten Gesang.‹ Glücklicherweise gibt es in der Kunst Geheimnisse, die zu lüften kein Sterblicher vermag.«
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Peters, J. (1967). Zufallsprozesse. In: Einführung in die allgemeine Informationstheorie. Kommunikation und Kybernetik in Einzeldarstellungen, vol 6. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-86500-8_4
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