Spindarstellungen, Infinitesimalring, gewöhnliche Drehgruppe

Zusammenfassung

Um zu den zweideutigen oder Spindarstellungen der Drehgruppe zu gelangen, wird der Infinitesimalring in § 1 eingeführt und in §2 in Verbindung gebracht mit der sog. Cliffordschen Algebra, die auch an sich von Interesse ist und seit Dirac in der Physik immer größere Bedeutung erlangt hat. Ihre Darstellungen (§3) liefern zugleich die infinitesimalen Spindarstellungen der Drehgruppe (§ 4). In § 5 werden die Spindarstellungen noch einmal im Großen hergeleitet unabhängig von §4, aber ebenfalls mit Benutzung der Cliffordschen Algebra. Die Anwendung auf die „gewöhnliche“ Drehgruppe 𝔡₃ in § 6 zeigt, daß deren zweiblättrige Überlagerungsgruppe zur unimodularen unitären Gruppe u2 isomorph ist, deren Darstellungen aus V § 10 bekannt sind; man kann aus § 6 die gesamte Darstellungstheorie der d3 entnehmen, ohne Kapitel VII und Kapitel VIII §§ 1–5 studiert haben zu müssen. § 7 gibt ein Beispiel für die vollständige Reduktion des Kronecker-Produkts von zwei Darstellungen. In §8 wird noch einmal der Infinitesimalring von 𝔡n betrachtet, seine Struktur genauer untersucht und daraus eine Reihe von Sätzen über die Gewichte — d. h. die Eigenwerte — der Darstellungen hergeleitet. Weitere Kronecker-Produkte und eine Anwendung auf gewisse mit der Cliffordschen zusammenhängende Algebren bringt § 9.