Einleitung

Zusammenfassung

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d.h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen. Um eine bestimmte Lösung einer partiellen Differentialgleichung festzulegen, muß man noch gewisse zusätzliche Daten vorschreiben. Je nach der Art dieser zusätzlichen Daten spricht man in gewissen Fällen von Anfangswertproblemen und in anderen Fällen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein Anfangswertproblem läßt sich z.B. für die Wellengleichung f _xx − f _yy = 0 stellen (vgl. § 2); eine Lösung f (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von f und der ersten partiellen Ableitung f _y (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. für die Potentialgleichung f _xx + f _yy = 0 gestellt werden (vgl. § 1); hier liegt eine Lösung f (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn man die Werte von f auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Beispiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Lösung der Wellengleichung für einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von f und f _y (Anfangswerte) vorgegeben, auf den beiden Halbgeraden die Werte von f allein (Randwerte). Anfangs- und Randwertprobleme können nicht nach Belieben gestellt werden, sondern für gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, für andere nur Randwertprobleme „sachgemäß“.