Bayes-Methode

Zusammenfassung

Bei den bisher behandelten Parameterschätzmethoden wurde angenommen, daß die Prozeßparameter θ konstante Größen darstellen. Es wird nun davon ausgegangen, daß die Parameter θ Zufallsgrößen sind. Das heißt, sie können entweder stochastische Variable sein oder aber als unbekannte, zufällig verteilte Konstanten aufgefaßt werden. Dann besitzt der Parametervektor eine Verteilungsdichte p[θ]. Bei der Ableitung der Bayes-Schätzung wird nun davon ausgegangen, daB die wesentliche Information in der bedingten Verteilungsdichte p[θ | Y] enthalten ist, also in der Verteilungsdichte der Parameter θ für die vorliegenden Meßwerte Y. p[θ | Y] wird nach den Messungen, also a posteriori, ermittelt. Aufgrund der dann vorliegenden A-posteriori-Verteilungsdichte sind nun “beste” Parameterschätzwerte $\hat{\theta }$ zu bestimmen. Dies kann z.B. durch Einführen einer Verlustfunktion bzw. eines Kriteriums zur Bestimmung der Parameterschätzwerte W($\hat{\theta }$, θ₀) sein. Dessen Minimierung führt dann auf

$$ \mathop{{\min }}\limits_{{\hat{\theta }}} \int\limits_{m} W (\hat{\theta },{{\theta }_{0}})P[{{\theta }_{0}}|Y]{{d}^{m}}{{\theta }_{0}} $$

(13.1)

bzw.