Formale Theorie asymptotischer Entwicklungen

Zusammenfassung

Viele Probleme der mathematischen Physik weisen Lösungen auf, die auf höhere transzendente Funktionen (z.B.Bessel-Funktionen, parabolische Zylinderfunktionen, Fehlerfunktionen, Airy-Funktionen etc.) zurückgeführt werden können. Die Kenntnis der Eigenschaften-solcher Funktionen und Verfahren zu ihrer näherungsweisen Berechnung sind daher von großem Nutzen. Reihenentwicklungen bzw. Integraldarstellungen höherer, transzendenter Funktionen werden in den beiden folgenden Kapiteln besprochen. Dabei spielen Entwicklungen für große Werte des Arguments, die asymptotischen Reihen, eine wichtige Rolle. Neben diesen Koordinaten-Entwicklungen wird in den Anwendungen auch häufig mit Parameter-Entwicklungen gearbeitet. Dabei wird nach einem dimensionslosen Parameter (z.B. Längen— bzw. Geschwindigkeitsverhältnisse; oder auch Formalparameter) entwickelt, der sehr kleine oder sehr große Werte annimmt. Derartige Entwicklungen können physikalische Probleme beträchtlich vereinfachen und führen unter Umständen (wie z.B. in Kapitel 1) zu linearisierten Gleichungen.