Gradientenverfahren

Zusammenfassung

Um die Verwendung der Gradientenmethoden möglichst anschaulich einzuführen, gehen wir zuerst vom R³ aus und betrachten die Gleichung

$$Q \equiv x'Cx = kons\tan t, Q \equiv x'Cx = kons\tan t,$$

(10.1)

die uns bekanntlich die Mittelpunktsgleichung einer Fläche 2. Grades darstellt. Ganz entsprechende Überlegungen gelten natürlich für den Rⁿ, wo man ebenfalls (10.1) als Mittelpunktsgleichung einer Fläche 2. Grades bezeichnet, deren Differential gegeben wird durch

$$dQ = \sum\limits_{{i = 1}}^{n} {\frac{{\partial Q}}{{\partial {x_{i}}}}} d{x_{i}} = {\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right)^{\prime }}dx.$$

(10.2)

Der Gradientenvektor

$$\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right) = grad{\text{ }}Q = \nabla Q = 2Cx $$

(10.3)

steht, wie schon früher erwähnt, senkrecht auf dieser Fläche. Die Variation dQ in (10.2) kann nur verschwinden, wenn das Skalarprodukt rechter Hand Null ist, und hieraus folgt, daß $\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right) \left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right)$ senkrecht steht auf allen denjenigen Vektoren dx, die die Fläche nicht verlassen.