Numerische Behandlung von Differentialgleichungen mit Zeitverzögerungen

Zusammenfassung

Bei einer Vielzahl von Modellen der Biowi senschaften verlangt eine mathematische Beschreibung in Form von Differentialgleichungen die Berücksichtigung von Zeitverzögerungen (Retardierungen), so etwa bei zeitverzögerten Anfangswertproblemen:

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {Y(t) = F(t,Y(t),Y{{(t - {\alpha _i})}_{i = 1, \cdots,s}}),t\varepsilon \left[ {a,b} \right]} \\ {Y(t) = \Phi (t),t < a} \\ {Y(a) = {Y_a}} \end{array} $$

(1)

Dabei ist Y=(y₁,…,y_n)^T der Vektor der Zustandsvariablen, F=(f₁,…,f_n)^T der Vektor der rechten Seiten der Differentialgleichungen.Φ=(ø₁,…,ø_n)^T sind die Vorgabefunktionen im Bereich t < a, Y_a der Vektor der Anfangswerte in t=a. Für nicht zeitverzögert vorkommende Zustände y_i ist die zugehörige Komponente ø_i als beliebig aufzufassen, also etwa ø_i≡y_i(a).Die Zeitverzögerungen α_i sind im einfachsten Fall konstant oder hängen von t und Y(t) ab: α = α(t,Y). Damit wird das Vorlaufintervall [a^o,a] definiert, wobei

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{a^o} = a - \max \left\{ {\left. {{\alpha _i}} \right|i = 1, \cdots ,\left. s \right\}bzw.{a^o} = \min \left\{ {a - \alpha (t,Y(t)\left. ) \right\}.} \right.} \right.} \\ {t\varepsilon \left[ {a,b} \right]}\end{array} $$