Eigenwertprobleme

Zusammenfassung

Man betrachte die folgende Aufgabe: Gegeben sei eine lineare Abbildung f: V→W vom linearen Raum V mit der Basis (v₁,...,v_n) in den linearen Raum W mit der Basis(w₁,...,w_m). Die Abbildung f werde durch die Matrix A=(a _ij ) dargestellt. Es soll nun untersucht werden, wie sich A verändert, wenn in den beiden Vektorräumen V und W andere Basen gewählt werden, etwa) u ₁,...,u _n) in V und (z₁,...,z_m) in W. Wird die Basis (v ₁,..., v _n) gegen (u ₁,...,u _n) ausgetauscht, so erhalte man

$${u_j}=\sum\limits_{k = 1}^n {{c_{kj}}{v_k},j=1,...,n,}$$

((1))

mit der Matrix C=(c _kj ). Der Basiswechsel in W von (z_l..., z_m) auf (w₁,..., w_m) erbringe

$${w_i} = \sum\limits_{l = 1}^m {{f_{\mathop {li}\limits^* }}{z_l},i = 1,...,m,} $$

((2))

mit F*=(f _l*i ).