Maximum-Likelihood-Schätzung in Unterfamilien von Exponentialfamilien

Zusamenfassung

Seien χ eine Borel-Teilmenge von R ⁿ und ν ein σ-endliches Maß auf der Borel-Algebra Borel(χ) von χ, wobei χ mit Teilraumtopologie bzgl. R ⁿ versehen sei. Die Verteilungsfamilie W:= {P _γ | γ 2208 Γ, Γ 2286 R^k} sei eine minimale Exponentialfamilie mit ν-Dichten der Form

$$ {f_{\gamma }}:\chi \to R,\;y \mapsto \exp \left( {\gamma 'T(y) - \varphi \left( \gamma \right)} \right) \left( {\gamma \in \Gamma } \right) $$

mit einer Borel-meßbaren Abbildung T: χ → R ^k und der Kumulantenfunktion $\varphi :\Gamma \to \left] { - \infty, \,\infty } \right[,\,\gamma \mapsto \ln \left( {\int\limits_{\chi } {\exp \left( {\gamma 'T(y)} \right)} d\nu } \right)$ zu W.