Primale Dekomposition einer konvexen Optimierungsaufgabe

Zusammenfassung

Wir betrachten die konvexe Optimierungsaufgabe a(x) + b(y) → min, α(x) + β(y) ≤ 0. Wir überführen sie zunächst in eine unrestringierte Optimierungsaufgabe, wenden dann einen Dekompositionsansatz an und erhalten auf diese Weise eine äquivalente unrestringierte Optimierungsaufgabe Ψ(x) → min von niedrigerer Dimension.

Zur Minimierung von Ψ(x) mittels einer Bündelmethode benötigen wir Sub-gradienten von Ψ(x). Die zu deren Berechnung erforderlichen Parameter sind Resultate einer gesonderten Minimierung, können also i.a. nicht exakt bestimmt werden. Es wird gezeigt, daß eine Approximation der Parameter hinreichend ist.

Abschließend berichten wir über numerische Ergebnisse bei der Minimierung von Ψ(x) mit der bundle-trust-region Methode von Zowe/Schramm [1].

Abstract

We consider the convex optimization problem a(x) + b(y) → min, α(x) + β(y) ≤ 0. We rewrite it into an unrestricted optimization problem and by means of a decomposition approach we get an equivalent unrestricted optimization problem Ψ(x) → min of lower dimension.

In order to minimize Ψ(x) by means of a bundle method we need subgradients of Ψ(x). Their calculation requires parameters which are results of a special minimization and therefore cannot be exactly calculated. It is shown that an approximation of the parameters is sufficient.

Finally we report numerical results of the minimization of Ψ(x) by means of the bundle-trust-region method of Zowe/Schramm [1].