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Das metrische Kontinuum

  • Hermann Weyl
  • Jürgen Ehlers
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Zusammenfassung

Der Zweifel an der Euklidischen Geometrie scheint so alt zu sein wie diese selbst und ist keineswegs erst, wie das von unsern Philosophen meist angenommen wird, eine Ausgeburt moderner mathematischer Hyperkritik. Dieser Zweifel hat sich von jeher an das V. Postulat des Euklid geknüpft. Es besagt im wesentlichen, daß in einer Ebene, in der eine Gerade g und ein nicht auf ihr gelegener Punkt P gegeben sind, nur eine einzige Gerade existiert, welche durch P hindurchgeht und g nicht schneidet; sie heißt die Parallele. Während die übrigen Axiome des Euklid ohne weiteres als evident zugestanden wurden, haben sich schon die ältesten Erklärer bemüht, diesen Satz auf Grund der übrigen Axiome zu beweisen. Heute, wo wir wissen, daß das gesteckte Ziel nicht erreicht werden konnte, müssen wir in diesen Betrachtungen die ersten Anfänge der »Nicht-Euklidischen« Geometrie erblicken, d. h. des Aufbaus eines geometrischen Systems, das zu seinen logischen Grundlagen die sämtlichen Axiome des Euklid mit Ausnahme des Parallelenpostulats annimmt. Wir besitzen von Proklus (5. Jahrh. n. Chr.) einen Bericht über derartige Versuche. Proklus warnt darin ausdrücklich vor dem Mißbrauch, der mit Berufungen auf Evidenz getrieben werden kann, (man darf nicht müde werden, diese Warnung zu wiederholen; man darf aber auch nicht müde werden, zu betonen, daß trotz ihres vielfachen Mißbrauchs die Evidenz letzter Ankergrund aller Erkenntnis ist, auch der empirischen) und besteht auf der Möglichkeit, daß es »asymptotische Gerade« geben könne.

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Literatur

  1. 71.
    Zu genauerer Orientierung sei auf das in der Teubnerschen Sammlung »Wissenschaft und Hypothese« (Bd. IV) erschienene Buch von Bonola und Liebmann, »Die Nicht-Euklidische Geometrie«, verwiesen.Google Scholar
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    In dieser Form rührt die Antwort her vom Verf.: »Reine Infinitesimal- geometrie«, Math. Zeitschrift Bd. 2 (1918);Google Scholar
  9. 93.
    Aufl. dieses Buchs (1920). Vgl. aber auch Hessenberg, Vektorielle Begründung der Differentialgeometrie, Mathem. Annalen Bd. 78 (1917) und J. A. Schouten, Die direkte Analysis zur neueren Relativitätstheorie, Verh. d. Akad. v. Wetensch. te Amsterdam, 1919.Google Scholar
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    Diese Auffassung der Krümmung ist in den unter 7) und 8) zitierten Arbeiten entwickelt worden. Auf Grund des von ihm gefundenen Ausdrucks für die Krümmung hatte schon Gauß zeigen können, daß die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks gleich seinem sphärischen Exzeß ist. O. Bonnet verallgemeinerte dies Ergebnis auf eine beliebige geschlossene Kurve (vgl. darüber etwa Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I, Berlin 1921, S. 108). Höchst bemerkenswert sind die kinematischen Betrachtungen in dem berühmten Treatise on Natural Philo- sophy von Thomson u. Tait, Parti, sect. 135—137, S. 105—109 der Ausgabe 1912 (Cambridge), welche im Grunde schon die ganze Theorie der Parallelverschiebung auf einer Fläche und der Krümmung enthalten. Vgl. ferner Car tan, Comptes rendus Paris 174 (1922), S. 437.Google Scholar
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    Siehe z.B. die unter 9) zitierten Vorlesungen von Blasehke. Ein anschaulicher Beweis des »theorema egregium« von Gauß, welches besagt, daß die Gaußsche Krümmung nur von der Geometrie auf der Fläche abhängt, a. a. O. bei Thomson u. Tait.Google Scholar
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    Von dem hier eingenommenen Standpunkt aus kurz entwickelt in: Weyl, /-dimensionale Fläche im w-dimensionalen Raum, Math. Zeitschr. 12 (1922), S. 154. Vgl. auch Schouten u. Struik, Rend. Circ. Mat. Palermo 46 (1922) und Ak. v. Wetensch. Amsterdam 24 (1922);Google Scholar
  13. 97.
    Struik S, Grundzüge der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Springer 1922).zbMATHGoogle Scholar
  14. 98.
    Diese Erweiterung stammt vom Verf.: »Gravitation und Elektrizität«, Sitzungsber. der Preuß. Ak. d. Wissensch. 1918, S. 465;Google Scholar
  15. »Reine Infinitesimalgeometrie«, Math. Zeitschr. Bd. 2 (1918);Google Scholar
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  19. F.Schur, Math. Ann. 27, S. 537. Einfachere Beweise in meinem Kommentar zu Riemanns Habilitationsvortrag [Zitat unter 4)], S. 39. und in einer Note des Verf., Nachr. d. Ges. d. Wissensch. Göttingen 1921, S. 109—110. Vgl. ferner die ausführliche Darstellung dieses Satzes sowie der HeImhoItz-Lie sehen gruppentheoretischen Untersuchungen in den im Vorwort zitierten Vorlesungen des Verf. über die »Mathematische Analyse des Raumproblems« (Barcelona).Google Scholar
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    »Uber die Tatsachen, welche der Geometrie zugrunde liegen«, Nachr. d. Ges. d. Wissensch, zu Göttingen 1868.Google Scholar
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    Die Lieschen Untersuchungen sind zusammengefaßt und breit entwickelt in dem großen Werk Li e-En gel, Theorie der Transformationsgruppen Bd. 3, Abt. 5. Im Geiste der Mengenlehre sind die zugrunde liegenden Voraussetzungen für den zweidimensionalen Fall weitgehend eingeschränkt worden von Hilbert: Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., Leipzig 1909), Anhang IV.Google Scholar
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    In engstem Anschluß an die unter 8) zitierte Arbeit des Verf.Google Scholar
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    Hessenberg, 1. c. 8), S. 190.Google Scholar
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    Von diesem Standpunkt aus, der mir an sich der richtige scheint und der sich in der Durchführung unserer Untersuchung bewährt, kann ich den rein formalen Verallgemeinerungen Schoutens, Mathem. Zeitschr. 13 (1922), S. 56, für das Raumproblem keine Bedeutung beimessen;Google Scholar
  25. gerade in der Existenz des metrischen Fundamentaltensors, den Schouten einfach hinnimmt, liegt für mich das Problem. Beachtenswerter scheinen mir die Ansätze von Cartan, Comptes rendus Paris 174 (1922), S. 593, 734, 857, 1104;Google Scholar
  26. von Wirtinger, Transactions of the Cambridge Philos. Soc. Vol. 22 (1922), Nr. 23.Google Scholar
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    Weyl, Die Einzigartigkeit der Pythagoreischen Maßbestimmung, Math. Zeitschr. 12 (1922), S. 114. Die gruppe ntheoretische Formulierung des Problems und seine Lösung in einem einfachen Sonderfall sind ausführlich auseinandergesetzt in den beiden letzten meiner spanischen Vorlesungen.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993

Authors and Affiliations

  • Hermann Weyl
  • Jürgen Ehlers
    • 1
  1. 1.Max-Planck-Institut für AstrophysikGarching bei MünchenDeutschland

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