Das Traveling Salesman Problem mit Permutierten Verteilungsmatrizen und Quasi-2-Konvexität

Zusammenfassung

Betrachtet wird das Traveling Salesman Problem (TSP; Rundreiseproblem) von einer speziellen Klasse von Matrizen, den sogenannten permutierten Verteilungsmatrizen. C = [c_ij] wird Verteilungsmatrix genannt, wenn für alle i<p, j<q: c_ij + c_pq ≤ c_iq + c_pj, (i,j = 1,…,m) gilt. C erfüllt die sogenannte “Monge”-Bedingung. C wird permutierte Verteilungsmatrix genannt, wenn eine Permutation p so existiert, daß C^p = [c_ip<j<] eine Verteilungsmatrix ist. Die zulässige Lösungsmenge des TSP wird in einen Graphen (Strukturgraphen) so eingebettet, daß die Zielfunktion die Eigenschaft der Quasi-2-Ronvexität hat. Auf Grund der so eingeführten Struktur können effiziente (polynomiale) Lösungsmöglichkeiten für zugrundegelegte spezielle Problemklassen abgeleitet werden. Abschließend wird die Klasse der symmetrischen Produktmatrizen betrachtet, bei denen c_ij = a_i.b_j gilt.

Abstract

In this paper we consider the traveling salesman problem of a special class of matrices, the so-called permuted distribution matrices. We say that C is a distribution matrix if the following condition is satisfied: that we have for all i003Cp, j003Cq: c_ij+ c_pq 2264 C_iq + C_pj, (i,j = l,2..,m). We say that C is a permuted distribution matrix if there exists a permutation p such that C^p = [C_ip003Cj003E] is a distribution matrix. We define structural relations between neighbourhood graphs and the Quasi-2-Convexity of these problems. Finaly, we consider a class of traveling salesman problems with a symmetric product matrix C, where c_ij =a_i.b_j.