Die Funktion von PETER

Zusammenfassung

Am Schluß des Kapitels 3 habe ich im Zusammenhang mit den elementaren Skalierungsfunktionen die 2-stellige, nicht elementare Funktion g mit

$$g(x,0) = x,g(x,n + 1) = {x^{g(x,n)}}$$

erwähnt, die aber gewiß primitiv rekursiv ist. Schreibe ich A₃ für g, so kann ich mit der Funktion A₂(x,n) = xⁿ die Rekursionsgleichung der n-fach iterierten Potenz g als A₃(x,n+1) = A₂(x,A₃(x,n)) schreiben. Als n-fache Iteration der Multiplikation A₁(x,n) = x • n genügt A₂ der analogen Rekursionsgleichung A₂(x,n+1) = A₁(x,A₂(x,n)), und ebenso genügt A₁ als n-fache Iteration der Addition A₀ der Rekursionsgleichung A₁(x,n+1) = A₀(x,A₁(x,n)). Somit erweist sich A3 als (viertes) Glied einer Folge 2-stel-liger primitiv rekursiver Funktionen A_m mit den Rekursionsgleichungen

$${A_{m + 1}}(x,n + 1) = {A_m}(x,{A_{m + 1}}(x,n))$$

denen man für m ≥ 3 allen den Anfangswert A_m(x,0) = x zuteilt. Da bereits A₃ so stark wächst, daß die Funktionen A₃(-,n) das Wachstum sämtlicher elementaren Funktionen ausschöpfen, werden die späteren Glieder A_m dieser Funktionenfolge noch weit weniger erfaßbar sein. Es war W. Ackermann [28], der dieses Verhalten der Funktionenfolge A_m verwendete, um durch ihre Diagonalisierung (analog derjenigen, die am Schluß des Kapitels 3 von der 2-stelligen Funktion f zur Funktion f¹ führte) die Funktion ACK(m) = A_m(m,m) als nicht mehr primitiv rekursiv zu erkennen.