Zusammenfassung
Wir folgen der Anleitung zur Konstruktion der Cantorschen Menge:
-
a)
Im ersten Schritt wurde ein (offenes) Intervall der Länge 1/3 entfernt, im zweiten Schritt zwei Intervalle - nämlich] 1/9,2/9 [ und] 7/9, 8/9 [ -mit der Gesamtlänge 21 · (1/3)2.
Man erkennt (sicher “ohne vollständige Induktion”), daß im k-ten Schritt 2k-1 Intervalle der Länge (1/3)k ausgelöscht wurden.
Mit F 2.5 folgt für die Gesamtlänge 1n der Intervalle, die nach n Schritten wegradiert worden sind:
$${1_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{2^{k - 1}}} \cdot {(1/3)^k} = {1 \over 3} \cdot {\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {{2 \over 3}} \right)} ^k} = 1 - {({2 \over 3})^n}.$$ -
b)
Für die Länge 1 “aller” gelöschten Intervalle ergibt sich:
$$1 = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {1_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (1 - {(2/3)^n}) = 1[vgl.L6.12];$$oder mit S 8.3:
$$1 = {1 \over 3} \cdot \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{k - 1}}} = {1 \over 3} \cdot {1 \over {1 - 2/3}} = 1.$$
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© 1993 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Trinkaus, H.L. (1993). Reihen. In: Probleme? Höhere Mathematik!. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-78016-5_28
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