Quantenmechanik

Zusammenfassung

In der klassischen Mechanik und Elektrodynamik lassen sich Schwingungs- zustände mit der Wellengleichung beschreiben. Aus welcher Gleichung die experimentell gefundenen, quantenmechanischen Eigenschaften der Materie folgen, war in den Anfängen der Theorie unklar. Als eine der Randbedingungen war erforderlich, daß diese Gleichung Zustände von Atomen und Molekülen wiedergibt. In der Quantenmechanik ging man den seit Jahrhunderten bewährten Weg über ein Postulat. Dieses Vorgehen hat sich auch in der klassischen Mechanik als überaus fruchtbar erwiesen. Die Gültigkeit des Postulats hat sich bis heute durch den Vergleich mit Experimenten immer wieder bestätigt. Die postulierte Bewegungsgleichung der Quantenmechanik wird heute als Schrödinger Gleichung bezeichnet. Schrödinger formulierte 1926 [4.1] diese Feldgleichung in Analogie zur Eikonalgleichung. Ihre Form ist

$$ i\hbar\psi _t = - \frac{{\hbar^2 }}{{2m}}\Delta \psi ({\bf X},t) + V({\bf X})\psi ({\bf X},t),$$

(4.1)

wobei Ψ(x, t) die Wellenfunktion und V(x) das Potential darstellen, ħ bezeichnet das Plancksche Wirkungsquantum und m ist die Masse des Teilchens. Die Schrödinger Gleichung ist eine lineare Differentialgleichung und entspricht damit dem Superpositionsprinzip. Sind zwei Lösungen Ψ₁ und Ψ₂ von (4.1) bekannt, so ist Ψ= C₁Ψ₁ + C2₂Ψ₂ ebenfalls Lösung der Schrödinger Gleichung. Da Schrödingers Gleichung eine erste, zeitliche Ableitung und eine räumliche Ableitung zweiter Ordnung besitzt, läßt sie sich auch als Diffusionsgleichung mit komplexem Diffusionskoeffizient lesen. Wir setzen bei der Interpretation voraus, daß die Wellenfunktion Ψ zu einem Zeitpunkt t₀ alle Informationen über das System beinhaltet. Wie sich der Zustand weiter entwickelt, ist durch (4.1) bestimmt.