Begriff und geometrische Bedeutung

Zusammenfassung

Als einfachste Differentialgleichung hatten wir früher

$$ y' = f(x) $$

(1)

bezeichnet, d. h. die Forderung, eine Funktion zu bestimmen, deren Ableitung gleich f(x) ist. Die Lösung erfolgte in der Integralrechnung. Dort wurden aber auch Aufgaben von der Form

$$ y'' = f(x) $$

(2)

behandelt, für die

$$ y = \int {dx\int {f(x) \cdot dx} } $$

ist. Von einer höheren als der zweiten Ableitung auszugehen läuft prinzipiell auf dasselbe hinaus. Allgemein sind die der Integralrechnung zufallenden Differentialgleichungen von der Form

$$ y = \int {dx\int {f(x) \cdot dx} } $$

(3) ist durch n-maliges Integrieren zu lösen. Jedes unbestimmte Integral hat eine additive Integrationskonstante, die wir hinfort Parameter nennen wollen. Die allgemeine Lösung von (1) ist eine einparametrige, diejenige von (3) eine n-parametrige Funktionenschar. Bei Anwendungsaufgaben werden die Parameter aus den sogenannten Anfangsbedingungen bestimmt, und man erhält eine partikuläre Lösung. (1) ist die einfachste Differentialgleichung erster, (3) diejenige n-ter Ordnung.