Verfahren für Anfangswertaufgaben bei steifen Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Im vierten Kapitel sind numerische Verfahren beschrieben worden, die es gestatten, die Lösung y der Anfangswertaufgabe

$$y' = f\left( {x,y} \right),\,y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},$$

((1))

die im Intervall I = [x₀,b] existiere, beliebig genau zu approximieren, wenn man nur die Schrittweiten hinreichend klein wählt und gegebenenfalls die Stellenzahl des Rechners entsprechend groß wählt. Im Normalfall wird man — zumindest verglichen mit Aufgaben bei partiellen Differentialgleichungen — in vergleichsweise kurzer Zeit eine numerische Näherung mit meist recht hoher Genauigkeit erhalten haben, wenn nicht das Integrationsintervall I sehr lang ist und das System nicht eine äußerst große Anzahl von Gleichungen besitzt. Häufig beschreiben Anfangswertaufgaben vom Typ (1) Übergänge von einem Gleichgewichtszustand zu einem anderen, wie z.B. in der Chemie. Der Übergang von einem zum anderen Zustand findet meist sehr schnell statt, folglich mit sehr „steilen“ Komponenten. Ein solches Verhalten bezeichnet man als „steif“. Oft ist man gar nicht am exakten Verlauf des Überganges interessiert, sondern nur an den beiden Gleichgewichtszuständen z.B. vor und nach der chemischen Reaktion. Ein genaues Berechnen der Übergänge würde meist den Einsatz vieler sehr kleiner Schrittweiten erfordern und damit aufgrund der üblicherweise festen Rechengenauigkeit die Stabilität der Verfahren gegenüber Ungenauigkeiten überdecken.