Die Existenz kombinatorischer Algebren: kombinatorische Logik

Zusammenfassung

Sollte der Leser versucht haben, sich ein handliches Beispiel einer kombinatorischen Algebra zu verschaffen, so wird er mir nach einiger Zeit beipflichten, dass mit dem Verzicht auf Typenunterscheidungen auch ein gut Teil mathematischer Intuition entschwunden ist. In der Tat ist in diesem Zusammenhang der Schritt vom Möglichen zum Widerspruchsvollen von verschiedenen Mathematikern gemacht worden. In der ursprünglichen Absicht der Begründer (Schönfinkel, Curry und Church) lag nicht nur eine Axiomatisierung des Anwendungsbegriffes für allgemeine Funktionen, sondern eine funktionale Begründung der gesamten Logik und Mathematik überhaupt. Insbesondere Curry und Church haben ursprünglich Systeme aufgestellt, die mit durchaus vernünftig scheinenden Zusätzen zur kombinatorischen Algebra auch logische Gesetze und Teile der Mathematik miteinbezogen. Diese erweiterten Systeme stellten sich dann als widerspruchsvoll heraus (Kleene & Rosser 1935). Curry meint, dies liege in der Natur der Sache; er vergleicht die Ansätze mit dem System von Frege und weist darauf hin, dass „wir von Gegenständen so grosser Allgemeinheit handeln, dass uns die Intuition darüber abgeht. Wir erforschen ein Niemandsland zwischen dem, was gesichert, und dem, was als widersprüchlich bekannt ist“.