Zusammenfassung
Die in einer westlichen Sprache zugänglichen Quellen sollten einigermaßen vollständig aufgeführt sein, bei der Literatur habe ich mich nicht um Vollständigkeit bemüht; ich nenne Werke und Arbeiten, aus denen ich Wesentliches gelernt habe, und solche, die vermutlich leicht zugänglich sind.
Erläuterungen zum Zitiersystem s. S. VII, Hinweise für den Leser
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Literatur
Allgemeine Literatur
Hrsg. von C. C. Gillispie. 16 Bde. New York 1976–1980. (Biographien mit ausführlicher Darstellung der wissenschaftlichen Leistungen und Bibliographie)
Sarton, G. Int.: Introduction to the History of Science. Washington, Baltimore. 1927–1948. Mehrere Nachdrucke. Bd. 1. From Homer to Omar Khayyam (11. Jh.) 1927. Bd. 2.1. 12. Jh.-1931 Bd. 2.2. 13. Jh.-1931 Bd. 3.1. 1. Hälfte des 14. Jh.-1947. Bd. 3.2. 2. Hälfte des 14. Jh. -1948. (Nach den Hälften der Jahrhunderte eingeteilt. Jeder Abschnitt enthält einen kurzen Überblick über die Entwicklung in diesem halben Jahrhundert, dann, nach Sachgebieten geordnet, die Gelehrten mit kurzen biographischen Daten, Stichworten zu ihren wissenschaftlichen Leistungen und sorgfältigen Bibliographien. - Berücksichtigt auch Religion, Philosophie und Medizin)
Krafft, F., und A. Meyer-Abich: Große Naturwissenschaftler. Biographisches Lexikon. Fischer-Bücherei 6010. Frankfurt (Main) 1970.
Pog.: Poggendorff, J. C.: Biographisch-Literarisches Handwörterbuch zur Geschichte der exakten Naturwissenschaften. (Kurze biographische Daten. Angabe der wissenschaftlichen Veröffentlichungen.)
Meschkowski, H.: Mathematiker-Lexikon. Mannheim, Bibliographisches Institut. 3. Aufl. 1980.
Hofmann, J. E.: Geschichte der Mathematik. Sammlung Göschen. Berlin: W. de Gruyter. Bd. 1. 2. Aufl.: 1963. Bd. 2: 1957. Bd. 3: 1957. (Hier aufgeführt wegen der ausführlichen Bibliographie)
Taton, R. (Herausgeber): Histoire générale des sciences. Bd. 1: La science antique et médiévale. Paris 1957.
Lorenzen, P.: Die Entstehung der exakten Naturwissenschaften. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer 1960.
Störig, H. J.: Kleine Weltgeschichte der Wissenschaft. 2 Bde. Frankfurt a. M.: Fischer 1982.
Cantor, M.: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. 4 Bde., Nachdruck: Stuttgart: Teubner 1965. (Das große klassische Werk. Die Darstellung reicht bis zum Jahre 1800.)
Becker, O.: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. - Orbis Academicus Bd. II/6. Freiburg, München: Alber. 2. Aufl. 1964. (Auszüge aus Originalarbeiten mit verbindendem Zwischentext. Das Wort „Grundlagen“im Titel ist zu beachten.)
Becker, O., und J. E. Hofmann: Geschichte der Mathematik. - Bonn: Athenäum-Verlag 1951. (Das unter 4.0.1.2. genannte Werk von J. E. Hofmann ist als eine Neubearbeitung dieses Werkes anzusehen.)
Eves, H.: An Introduction to the History of Mathematics. New York usw.: Holt, Rinehart and Winston. 4. Aufl. 1974.
Kline, M.: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press 1972. (1238 Seiten; S. 614–1022 behandeln das 19. Jh., S. 1023–1211 das 20. Jh.)
Kropp, G.: Geschichte der Mathematik. Probleme und Gestalten. Heidelberg: Quelle und Meyer 1969. ( Eine kleine Einführung )
Loria, G.: Storia delle matematiche. 3 Bde. Mailand: Hoepli 1929, 1931, 1933.
Meschkowski, H.: Problemgeschichte der Mathematik. - Mannheim: Bibl. Inst. I.Die Entwicklung der mathematischen Fragestellungen von den Anfängen bis ins ausgehende Mittelalter. 1979. II.Die Mathematik des 17. und 18. Jahrhunderts. 1981. Problemgeschichte der neueren Mathematik (1800–1950). 1978.
Popp, W.: Wege des exakten Denkens. Vier Jahrtausende Mathematik. München: Ehrenwirt. 1981.
Struik, D. J.: Abriß der Geschichte der Mathematik. 7. Aufl. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.
Tropfke, J.: Geschichte der Elementarmathematik. 2., z.T. 3. Aufl. 1923–1940. 4. Aufl., 1. Bd. Arithmetik und Algebra. Berlin: W. de Gruyter 1980.
Wussing, H.: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. Berlin: VEB Verlag der Wissenschaften. 1979. (365 Seiten. 15 Vorlesungen. Das Studienbuch für Mathematiklehrer in der DDR)
Wussing, H., und W. Arnold: Biographien bedeutender Mathematiker. Berlin 1975. Köln: Aulis Verlag 1978. (Sonderausgabe für die Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt) (41 Biographien von Pythagoras bis Emmy Noether)
Damerow, P., und W. Lefèvre: Rechenstein, Experiment, Sprache. Histor. Fallstudien zur Entstehung der exakten Wiss. - Stuttgart: Klett-Cotta 1981.
Popp, W.: Ablösung antiker Rezepte zur Bestimmung von Flächen- und Rauminhalten durch wissenschaftlich begründete Formeln. Erläutert an Beispielen: 1) Kreisfläche, 2) Fläche des Kreissegments, 3 ) Pyramiden- und Kegelvolumen. - Diss. München 1964.
Vorgriechische Mathematik (und Naturwissenschaft)
Neugebauer, O.: Vorl.: Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Bd. 1. Vorgriechische Mathematik. - Berlin: Springer 1934. 2. Aufl. (unverändert) 1969. Ex. Sci.: The Exact Sciences in Antiquity. - Providence, Rhode Island: Brown Univ. Press. 2. Aufl. 1957. (Statt Bd. 2 des vorigen Titels)
Sarton, G.: Hist. A.: A History of Science. Ancient Science through the Golden Age of Greece. - Cambridge: Harvard Univ. Press. 1960.
Vogel, K.: VM: Vorgriechische Mathematik. - Hannover: Schroedel, Paderborn: Schöningh. Bd. 1. Vorgeschichte und Ägypten. 1958. Bd. 2. Die Mathematik der Babylonier. 1959.
van der Waerden, B. L.: E. W.: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. Basel, Stuttgart: Birkhäuser. 2. Aufl. 1966 (Original holländisch 1950). Astr.: Die Anfänge der Astronomie. (Erwachende Wissenschaft Bd. 2) Groningen: Noordhoff 1966. GAAC: Geometry and Algebra in Ancient Civilisations. Berlin, Heidelberg: Springer 1983.
Popp, W.: Ablösung antiker Rezepte… s. unter 4.0.2.2.
Seidenberg, A.: Arbeiten im Arch. Hist. Exact. Sci.: Or. Geom.: The Ritual Origin of Geometry. 1, 1960/62, S. 488–527. Or. Count.: The Ritual Origin of Counting. 2, 1965, S. 1–40. Sem. C.: On the Area of a Semi-Circle. 9, 1972/73, S. 171–211. Or. Math.: The Origin of Mathematics. 18, 1977/78, S. 301–342.
Vogel, K.: VM, Bd. 1, s. unter 4. 1. 0.
Schmandt-Besserat, Denise: A. R.: An Archaic Recording System in the Uruk-Jemdet Nasr Period. - American Journal of Archaeology 83, 1979, S. 19–48. P. W.: The Earliest Precursor of Writing. - Scientific American 238, Juni 1978, S. 38–47. s. auch Damerow, P. unter 4.0.2.2, Einzelfragen.
Thom, A.: Megalithic Sites in Britain. - Oxford: Clarendon Press 1967. Reprint 1972. ( Wichtige Sammlung von Plänen und Zahlenangaben, anspruchsvolle Theorien für geometrische Konstruktionen. )
Heggie, D. C.: Megalithic Science. Ancient Mathematics and Astronomy in North-West Europe. - London: Thames and Hudson Ltd. 1981. ( Kritische Besprechung der geometrischen und astronomischen Theorien unter Berücksichtigung aller denkbaren Einwände; viele Literaturangaben. )
Angell, I. O.: Megalithic Mathematics, Ancient Almanachs or Neolithic Nonsense? - Bulletin. The Institute of Mathematics and its Applications. Southend-on-Sea, Essex, 14, 1978, S. 253–258. (Konstruktionen 1) mit geschlossenen Schnüren und drei oder mehr Leitpflöcken, 2) auf Grund der Längenänderung eines Schattenstabes im Laufe eines Jahres. Die Angabe von zwei Konstruktionsmöglichkeiten soll zeigen, daß die geometrische Interpretation der Grundrisse nicht eindeutig ist.)
Ashbee, P.: The Bronce Age Round Barrow in Britain. London: Phoenix House Ltd. 1960. (Vermutung über das Aussehen von Woodhenge)
Burl, A.: The Stone Circles of the British Isles. New Haven, London: Yale University Press 1976.
Cowan, Th. M.: Megalithic Rings: Their Design Construction. Science 168, Nr. 3929, April 1970, S. 321–325. (Grundrißkonstruktionen mit Schnüren mit zwei Verankerungspflöcken und zwei Leitpflöcken)
Wood, J. E.: Sun, Moon and Standing Stones. Oxford: Univ. Press 1978.
van der Waerden, B. L.: Prebab. M.: On Pre-Babylonian Mathematics. Arch. Hist. Exact Sci. 23, 1980, I: S. 1–25, II: S. 26–46.
Falkenstein, A.: Archaische Texte aus Uruk. - Ausgrabungen der Deutschen Forschungsgemeinschaft in Uruk-Warka. Bd. 2. Leipzig: Harrassowitz 1936.
Földes-Papp, K.: Vom Felsbild zum Alphabet. - Stuttgart: Belser Verlag 1966. Lizenzausgabe Bayreuth: Gondrom Verlag 1975.
Hartner, W.: Zahlen und Zahlensysteme bei Primitiv- und Hochkulturvölkern. - Paideuma, Bd. 2, Heft 6/7, 1943. Abgedruckt in: Oriens-Occidens. Festschrift zum 60. Geburtstag. Hildesheim: Olms 1968.
Menninger, K.: Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl. 2 Bde. Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht. 2. Aufl. 1958.
Neugebauer, O.: Zur Entstehung des Sexagesimalsystems. - Abh. der Ges. der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-Phys. Kl., Neue Folge Bd. 13, 1, 1927.
Powell, M. A. Jr.: Sexag. S.: The Origin of the Sexagesimal System: The Interaction of Language and Writing. - Visible Language 6, 1972, S. 5–17. Ant.: The Antecedents of Old-Babylonian Place Notation and the Early History of Babylonian Mathematics. - Historia Mathematica 3, 1976, S. 417–439.
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Goetsch, H.: Die Algebra der Babylonier. Arch. Hist. Exact Sci. 5, 1968, S. 79–153. (Umfassende übersichtliche Zusammenstellung)
Jeremias, A.: Handbuch der altorientalischen Geisteskultur. Berlin, Leipzig: W. de Gruyter. 2. Aufl. 1929. (Darin Abb. 89 und 90: Babylonische Weltkarte; hier Abb. 1. 35 ).
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Unger, E.: Babylon, die heilige Stadt. Berlin und Leipzig: de Gruyter 1931.
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TMB: Thureau-Dangin, F.: Textes Mathématiques Babyloniens. Leiden: Brill 1938.
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E 2: Taha Baqir: An Important Mathematical Problem Text from Tell Harmal (Iraq Museum 55357). - Sumer 6, 1950, S. 39–54. - [22ff.].
E 3: Goetze, A.: A Mathematical Compendium from Tell Harmal. Sumer 7,1951, S. 126–155. - [41].
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MLC Morgan Library Collection. New Haven.
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Hornung, E.: Grundzüge der ägyptischen Geschichte. Darmstadt: Wiss. Buchges. 1978.
Erman, A.: Die Literatur der Ägypter. Leipzig 1923. (Darin eine Streitschrift aus der Zeit Ramses’ II über die mathematischen Aufgaben eines Schreibers [50].)
Piankoff, A.: Egyptian Religious Texts and Representations, Bollingen Series XL, vol. 3: Mythological Papyri, ed. N. Rambova. New York: (c) Princeton University Press. 1957. Text figs, executed by Mark Hasselriis. [65]
Quibell, J. E.: Hierakonpolis I. Egyptian Research Account 4. London 1900. (Darin Bilder von der Keule des Königs Narmer und der Statue des Königs Chasechem [15].)s. 4.1.0, ferner
Gillings, R. R.: Mathematics in the Time of the Pharaos. Cambridge, Mass., London 1972.
Neugebauer, O.: Die Geometrie der ägyptischen mathematischen Texte. Qu. u. St. B 1, 1931, S. 413–451. (Übersichtliche Zusammenstellung des Materials.)
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Dem. P.: Parker, R. A.: Demotic Mathematical Papyri. Brown Egyptological Studies VII. Providence, Rhode Island, and London 1972.
Lepsius, R.: Über eine hieroglyphische Inschrift am Tempel in Edfu. Abh. d. Königl. Akad. d. Wiss. Berlin 1855, S. 69–111. - [59]
Meeks, D.: Le grand texte des donations au Temple d’Edfou. Publications de l’Institut Fran¬cais d’Archéologie Orientale du Caire. 1972.
Reisner-Papyri (Nach Gillings:) Gefunden 1904 von G. Reisner. Hrsg. 1963-1969 von W. K. Simpson, Boston. Sie stammen wahrscheinlich aus der Zeit Sesostris I (12. Dyn.) und sind somit anscheinend älter als P.M. und P.Rh. Sie enthalten numerische Rechnungen, insbesondere einfache Volumenberechnungen.
Becker, O.: Über die Proportionen der ägyptischen Pyramiden I. Die klassischen Pyramiden des Alten Reiches. Praxis der Math. 3, 1961, S. 260–266.
Bruins, E. M.: Über die Approximation von π/4 in der ägyptischen Geometrie. Indag. Math. 7, 1945, S. 11–15.
Gandz, S.: Die Harpedonapten oder Seilspanner und Seilknüpfer. Qu. u. St. B 1,1931, S. 255–277. (Die Seilspanner sind Landvermesser. Die Seilspannung ist auch eine wichtige Anfangsze-remonie bei der Grundsteinlegung eines Tempels. Von einem Seil der Länge 12 mit Knoten zwischen den Längen 3, 4, 5 ist in den Urkunden keine Rede.)
Gundel, W.: Dekane und Dekanssternbilder. - Glückstadt und Hamburg 1936.
Hertwig, O.: Über geometrische Gestaltungsgrundlagen von Kultbauten des VI. Jahrhunderts v.Chr. zu Paestum. - München: Beck 1968. - Anhang I: Die praktischen Ziele der Pyramidenaufgaben im Papyrus Rhind.
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van der Waerden, B. L.: Die Entstehungsgeschichte der ägyptischen Bruchrechnung. Qu. u. St. B 4, 1938, S. 359–382.
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Das Äpastamba-Sulba-Sütra. Ed. Albert Bürk. Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft. Bd. 56, 1902.
Kätyäyana’s Sülbaparisishta with the Commentary by Räma, Son of Süryadäsa. Ed. G. Thibaut. - The Pandit, New Series Bd. 4. Benares 1882.
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Thibaut, G.: On the Sulvasütras. Journ. Asiatic Soc. Bengal, 44, 1, 1875.
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Seidenberg, A. s. unter Nr. 4.1.0.
Griechische Mathematik
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Capelle, W.: Die Vorsokratiker. Kröners Taschenausgabe Nr. 119. Stuttgart: Kröner. 4. Aufl. 1953.
Balss, H.: Antike Astronomie. Aus griechischen und lateinischen Quellen mit Text, Übersetzung und Erläuterungen. München, Heimeran 1949.
LAW: Lexikon der Alten Welt. Zürich und Stuttgart, Artemis-Verlag 1965. Auch einzelne Teile erschienen.
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RE: (Pauly-Wissowa): Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft. Neue Bearbeitung, begonnen von G. Wissowa. Stuttgart.
TL: Tusculum-Lexikon griechischer und lateinischer Autoren des Altertums und des Mittelalters. 3. Aufl. bearb. von W. Buchwald, A. Hohlweg, O. Prinz. München, Zürich: Artemis Verlag 1982.
Heath, Sir Thomas L. Gr. M.: A History of Greek Mathematics. 2 Bde. Oxford. Clarendon Press 1921. Nachdruck 1960. Gr. Astr.: Greek Astronomy, London, New York 1932.
Sarton, George Hist. A.: A History of Science. Ancient Science through the Golden Age of Greece. - Cambridge: Harvard University Press 1960.
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van der Waerden, B. L. E. W.: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. Aus dem Holländischen übersetzt von Helga Habicht. Basel, Stuttgart: Birkhäuser-Verlag. 2. Aufl. 1966.
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Becker, Oskar Ant.: Das mathematische Denken der Antike. Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht 1957.
Becker, Oskar Eud. I: Eudoxos-Studien I. Eine voreudoxische Proportionen-Lehre und ihre Spuren bei Aristoteles und Euklid. Qu. u. St. B 2, 1933, S. 311 – 333.
Becker, Oskar Eud. II: Eudoxos-Studien II. Warum haben die Griechen die Existenz der vierten Proportionale angenommen? Qu. u. St. B 2, 1933, S. 369 – 387.
Becker, Oskar Eud. III: Eudoxos-Studien III. Spuren eines Stetigkeitsaxioms in der Art des Dede- kind’schen zur Zeit des Eudoxos. Qu. u. St. B 3, 1934, S. 236 – 244.
Becker, Oskar Eud. IV: Eudoxos-Studien IV. Das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten in der griechischen Mathematik. Qu. u. St. B 3, 1934, S. 370 – 388.
Becker, Oskar Hipp.: Zur Textgestaltung des eudemischen Berichts über die Quadratur der Möndchen. Qu. u. St. B 3, 1936, S. 411 – 419.
Becker, Oskar G. u. U.: Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im 9. Buch der Elemente Euklids. Qu. u. St. B 3, 1936, S. 533–553 = Gr. Math. S. 125–145.
Becker, Oskar Gr. Math.: Zur Geschichte der griechischen Mathematik. Darmstadt: Wiss. Buchges. 1965.
Becker, Oskar Wege der Forschung Bd. 33. (Sammlung von Arbeiten verschiedener Autoren, hrsg. von O. Becker)
Beckmann, Friedhelm s. Euklid
Blume, F. s. Agrimensoren
Bubnov, N. s. Agrimensoren
Burkert, W.: Weisheit und Wissenschaft. Nürnberg 1962.
Dijksterhuis, E. J., s. Archimedes
Drachmann, A. G.: The Mechanical Technology of Greek and Roman Antiquity. Kopenhagen: Munksgaard 1963.
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Fladt, K.: Geschichte und Theorie der Kegelschnitte und der Flächen zweiten Grades. Stuttgart: Klett-Verlag 1965.
von Fritz, Kurt Gr.: Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft. Berlin, New York: W. de Gruyter 1971.
von Fritz, Kurt Darin u. a.: Archai: Die Archai in der griechischen Mathematik. S. 335–429. Erstveröffentlichung: Archiv für Begriffsgeschichte 1.
von Fritz, Kurt Gl.: Gleichheit, Kongruenz und Ähnlichkeit in der antiken Mathematik bis auf Euklid. S. 430–508.
von Fritz, Kurt Ink.: Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont. S. 544–575. - Erstveröffentlichung (englisch): Annais of Math. 46, 1945. - Deutsch auch in Becker, Gr. Math., S. 271–301.
von Fritz, Kurt Apeiron: Das Apeiron bei Aristoteles. S. 677–700.
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Gomperz, Heinrich Sophistik und Rhetorik. Das Bildungsideal des EU LEGEIN in seinem Verhältnis zur Philosophie des V. Jh.
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Hertwig, O.: Über geometrische Gestaltungsgrundlagen von Kultbauten des VI. Jh. v. Chr. Zu Paestum. München: Beck 1968.
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Krafft, F.: Geschichte der Naturwissenschaft I. Die Begründung einer Wissenschaft von der Natur durch die Griechen. Freiburg i. Br.: Rombach 1971.
Lachmann, K., s. Agrimensoren
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Schmidt, Wilhelm, s. Zenodoros
Schneider, Ivo, s. Archimedes
Steck, M., s. Euklid
Steele, A. D.: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. Qu. u. St. B 3, 1936, S. 313–369. Teil II und III auch in Becker, Gr. Math., S. 146–202.
Toomer, G. J., s. Hipparch
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Szabö, Arpäd Anhang: Wie kamen die Pythagoreer zu dem Satz Eucl., Elem. II, 5? (Das Buch faßt ältere Arbeiten des Verf. zusammen.)
Szabö, Arpäd Anf. e.: The Beginnings of Greek Mathematics. Übers, (engl.) von A. M. Ungar. Budapest, Akademiai Kiado 1978. Gemeinsam mit D. Reidel Publ. Comp. Dordrecht, Holland.
Szabö, Arpäd Wm.: Winkelmessung und Anfänge der Trigonometrie. Acta Antiqua Academiae Scientiarum Hungarica, Budapest, Bd. 24, 1976, S. 161 – 182.
Szabö, Arpäd Sch. Z.: Der Schattenzeiger. Ein altes Instrument der Astronomie, Geographie und Trigonometrie. Humanismus und Technik. Berlin. Bd. 22, 2. Heft, 1978, S. 36 – 62.
van der Waerden, B. L., s. unter 4.1.0 und 4.1.1; ferner:Pyth. Wiss.: Pythagoreische Wissenschaft. In RE. Bd. 24, Sp. 277–300.
van der Waerden, B. L. Pyth.: Die Pythagoreer. Religiöse Bruderschaft und Schule der Wissenschaft. Zürich, München: Artemis Verlag 1979.
van der Waerden, B. L.Postulate: Die Postulate und Konstruktionen in der frühgriechischen Geometrie. Arch. Hist. Exact. Sci. 18, 1977/78, S. 343–357.
Vogel, Kurt Gr. L.: Beiträge zur griechischen Logistik. Sitzungsber. der Bayer. Adak. d. Wiss., Math.-naturw. Abt. 1936, S. 357–472. (Über die Rechenkunst der Griechen)
Wahrscheinlich Zeitgenosse des Simplikios (6.Jh. n.Chr.). Gab einen Beweis des Parallelenpostulats [210]
Mitte des 5. Jh. v.Chr. Maler aus Samos, arbeitete in Athen. Vitruv [Arch. VII, Vorr. 12]: „Zuerst nämlich schuf Agatharchos in Athen, als Äschylos eine Tragödie aufführte, eine Dekoration und hinterließ darüber eine Schrift.“
Römische Feldmesser, nach ihrem wichtigsten Gerät, der Groma [60], auch Gromatiker genannt. Ihre Aufgaben waren das Abstecken von Tempelgebieten, Städten und Lagern, ferner Flurgrenzziehungen und Ackerverteilungen. Schriften gibt es etwa seit 100 n.Chr. Durch sie sind geometrische Kenntnisse ins Mittelalter überliefert worden. [168]. Vierecksformel [168].
Blume, F., K. Lachmann und A. Rudorff: Die Schriften der römischen Feldmesser. 2 Bde. Berlin 1848, 1852.
Bubnov, N.: Gerberti Opera Mathematica. Berlin 1899. Nachdruck Hildesheim: Olms 1963. -Appendix VII. De corporis gromaticorum libellis mathematicis.
Dilke, O. A. W.: The Roman Land Surveyors. An Introduction to the Agrimensores. - Newton Abbot: David and Charles 1971.
Peripatetiker. Begann etwa 198 n.Chr. mit Vorlesungen in Athen. Schrieb Kommentare zu den Schriften des Aristoteles. Bericht über Kreisquadraturen [95].
Geb. vor 445 n. Chr. Schüler von Proklos, seit 485 Schulhaupt der Platonischen Schule in Alexandria. Die Schüler dieser Schule waren teils Heiden, teils Christen. Die Schule bestand bis zur Eroberung von Alexandria durch die Araber (641/642). A. war vielleicht pro forma Christ. Zu seinen Schülern gehörten Simplikios und Philoponos. A. starb zwischen 517 und 526. Zur Kreisquadratur [95].
Geb. ca. 500 in Klazomenai, kam etwa 460 nach Athen, wurde Freund des Perikles und des Euripides. Diog. L. [II, 8, 10]: „Man sagt, er habe den Fall des Meteorsteins in der Nähe von Aigospotamoi (468/467) vorausgesagt, von dem er sagte, er werde aus der Sonne herausfallen.“- A. wird das schwerlich vorausgesagt haben, aber der Fall dieses Meteorsteins könnte der Anlaß dafür gewesen sein, daß er lehrte, die Sonne und alle Himmelskörper seien glühende Steine. Diese Lehre wird von Piaton bezeugt [Apolog. 26 d]. A. wurde (daher) 430 wegen Gottlosigkeit angeklagt, mußte Athen verlassen und ging nach Lampsakos. Dort starb er um 425 v. Chr.
Mathematisches: A. soll sich im Gefängnis mit der Quadratur des Kreises beschäftigt haben [Plutarch, zitiert nach Diels 59 A 38] [94]. Er lehrte: „Im Kleinen gibt es kein Kleinstes, sondern immer noch ein Kleineres“[Diels 59 B 3].
Geb. etwa 610 in Milet, gest. etwa 546. Erklärte als Ursubstanz das Grenzenlosunendliche (apeiron) [73]. Die Erde habe die Form einer Säulentrommel, die Sterne seien mit Feuer gefüllte Schläuche mit einer Öffnung, aus der das Feuer herausscheint [147]. Er stellte in Sparta einen Gnomon (Schattenstab, Sonnenuhr) auf, soll eine Erdkarte gezeichnet und eine „Sphaira“(einen Himmelsglobus) konstruiert haben. [Diog. L. II, 1].
Wirkte um 545 in Milet, gest. 528/525 (= 63. Olympiade). Ursubstanz ist die Luft [74]. Die Erde ist eine flache Scheibe. Die Sterne bewegen sich nicht unter der Erde durch, sondern um die Erde herum [147].
Wurde 532 n. Chr. gemeinsam mit Isidoros von Milet mit dem Neubau der Hagia Sophia in Konstantinopel beauftragt, starb 534. Schrieb über Brennspiegel. [Heath: Gr. M. Bd. 2, S. 541–543].
Lebte in Athen, war Zeitgenosse des Sokrates.
Quadratur des Kreises mittels einbeschriebener Polygone, berichtet von Themistios und Simplikios. [95, 97]
F. Rudio: Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig 1907.
Nach Angabe von Eutokios [Apollonios K. Bd. 2, S. 168] ist er in Perge in Pamphylien geboren und erreichte die Blütezeit seines Lebens (40 J.) zur Zeit des Ptolemaios Euergetes (Reg. Zeit 246–222/221). A. studierte in der Schule von Euklid in Alexandria [Pappos, Coli. VII, 35. Hultsch S. 678], wurde berühmt durch astronomische Arbeiten z. Z. von Ptolemaios Philopator (Reg. Zeit 222/ 221–204). Das vierte Buch der „Kegelschnitte“widmete er dem König Attalos von Pergamon (Reg. Zeit 241–197). Danach wird seine Lebenszeit auf etwa 262–190 v.Chr. angesetzt [Heath, Gr. M., Bd. 2, S. 126].
Konika. 8 Bücher, I-IV griechisch erhalten, V-VII arabisch erhalten, VIII verloren.
E. Halley: Apollonii Conicorum libri octo. Oxford 1710. - Enthält den griechischen Text der Bücher I-IV, eine lateinische Übersetzung der Bücher V-VII und eine Wiederherstellung des Buches VIII.
K.: Apollonii Pergaei quae graece extant cum commentariis antiquis. Ed. J. L. Heiberg. Leipzig: Teubner. 2 Bde. 1891–1893. Gr. und lat.
K. d.: Die Kegelschnitte des Apollonios. Übers, von A. Czwalina. München, Berlin 1926. -Nachdruck: Darmstadt. Wiss. Buchges. 1967. ( Buch I-IV).
K. d. Balsam: Balsam, H.: Des Apollonios sieben Bücher über Kegelschnitte nebst dem durch Halley wiederhergestellten achten Buche. Berlin 1861.
K. e.: T. L. Heath: Apollonius’ Treatise on Conic Sections. Ed. in Modern Notation with Introductions, including an Essay on the Earlier History of the Subject. Cambridge 1896. K. f.: P. ver Eecke: Les coniques. Brügge 1924. ( Buch I-VII. )
K. ngr.: Apollonioy Konika. Ed. E. Stamatis. Athen 1975–1976. I-IV: Text von Heiberg mit neugriechischer Übersetzung. V-VII: neugriechische Übersetzung nach Halley. 4 Bde.
Weitere Werke: VS.: Über den Verhältnisschnitt. Apollonii de sectione rationis libri duo ex arabico MSto latine versi. E. Halley, Oxford 1706. (Die Aufgabe ist: gegeben sind zwei Geraden und auf jeder ein Punkt (A, ß), ferner ein Punkt O außerhalb der Geraden. Durch diesen ist eine Gerade so zu legen, daß sie auf den gegebenen Geraden von den gegebenen Punkten aus Strecken in einem gegebenen Verhältnis abschneidet.)
Über weitere Werke berichtet Pappos [Coli. VII, 3 = H. S. 636]; darunter sind: 2 Bücher über Berührungen. Gegeben sind drei Figuren; jede kann ein Punkt oder eine Gerade oder ein Kreis sein. Gesucht ist ein Kreis, der durch jeden der gegebenen Punkte geht (wenn Punkte gegeben sind) und die gegebenen Geraden oder Kreise berührt, [s. Heath, Gr. M. Bd. 2, S. 181]
Bücher über „Ebene Örter“, die Fermat rekonstruiert hat.
Bücher über Einschiebungen.
Nach Proklos [Zu Def. 4, S. 105] bemerkte Apollonios, daß die Schraubenlinie auf dem Zylinder òμotoμερής d. h. gleichförmig in ihren Teilen ist.
Nach Ptolemaios [Almagest XII, Kap. 1] hat Apollonios die Epizykel- und die Exzentertheorie der Planetenbewegung miteinander verglichen.
s. Fladt, zitiert auf S. 222.
Neugebauer, O.: Apollonius-Studien. Qu. u. St. B 2, 1933, S. 215 – 254.
Op.: Archimedis Opera omnia cum commentariis Eutocii. Ed. J. L. Heiberg. 2. Aufl., 3 Bde. Leipzig: Teubner 1910–1915. Nachdruck Stuttgart 1972. Dazu als Bd. 4: Archimedes: Über einander berührende Kreise. Ed. Y. Dold-Samplonius, H. Hermelink und M. Schramm. Stuttgart 1975.
Op. d.: Archimedes Werke, übers, von A. Czwalina. - Im Anhang: Kreismessung, übers, von F. Rudio. Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen, übers, von J. L. Heiberg und kommentiert von H. G. Zeuthen. - Darmstadt: Wiss. Buchges. 1963. Op. e.: The Works of Archimedes. Ed. in Modern Notation with Introductory Chapters (185 S.) by T. L. Heath. 1897. - With a Supplement: The Method of Archimedes. 1912. - Nachdruck: New York: Dover Publ. 1953.
Op. f.: Oeuvres complètes d’Archimède. Ed. P. ver Eecke. Paris, Brüssel 1921. 2. Aufl. mit
Übersetzung der Kommentare von Eutokios. Paris 1960.
Op. ngr.: APXIMHΔOYΣ AΠANTA, ed. E. Stamatis. Der Text von Heiberg mit neugriechischer Übersetzung, Scholien und Ergänzungen. 3 Teile in 4 Bd. Athen 1970–74.
K. u. Z.: De sphaera et cylindro. Op. Bd. 1, S. 1–229. Kugel und Zylinder. Op, d., S. 73–150.
Kr.: Dimensio circuli. Op. Bd. 1, S. 231–243. Kreismessung. Op. d., S. 366–377.
P. H. E.: De conoidibus et sphaeroidibus. Op. Bd. 1, S. 245–445. Über Paraboloide, Hyperboloide und Ellipsoide. Op. d., S. 211–281.
Sp.: De lineis spiralibus. Op. Bd. 2, S. 1–121. Über Spiralen. Op. d., S. 1–71.
Gl. Fl.: De planorum aequilibriis. Op. Bd. 2, S. 123–213. Über das Gleichgewicht ebener Flächen oder über den Schwerpunkt ebener Flächen. Op. d, S. 177–210.
SZ.: Arenarius. Op. Bd. 2, 215–259. Die Sandzahl. Op. d., S. 347–364.
Qu. P.: Quadratura parabolae. Op. Bd. 2, S. 261–315. Die Quadratur der Parabel. Op. d., S. 151–176.
Schw. K.: De corporibus fluitantibus. Op. Bd. 2, S. 317–413. Über schwimmende Körper. Op. d., S. 283–346.
St.: Stomachion. Op. Bd. 2, S. 415–424.
Meth.: De mechanicis propositionibus ad Eratosthenem methodus. Op. Bd. 2, S. 425–507. Eine neue Schrift des Archimedes. Op. d., S. 379–423.
Ass.: Liber assumptorum. Op. Bd. 2, S. 509–525.
Pr. B.: Problema bovinum. Op. Bd. 2, S. 527–534.
Eine ausführliche Charakterisierung von Archimedes gibt Plutarch in der Biographie des Marcellus (§ 14–19).
Dijksterhuis, E. J.: Archimedes. Kopenhagen 1956.
Schneider, Ivo: Archimedes, Ingenieur, Naturwissenschaftler und Mathematiker. Darmstadt, Wiss. Buchgesellschaft 1979. Erträge der Forschung Bd. 102. (Neue gründliche Durcharbeitung der Quellen, die z.T. zu neuen Auffassungen führt; ins-besondere wird der Ingenieur Archimedes herausgestellt. - Ausführliches Literaturver-zeichnis.)
Bachmakova, I. G.: Les méthodes différentielles d’Archimède. Arch. Hist. Exact Sci. 2, 1962/66, S. 87–107.
Edwards, C. H. Jr. Dreiteilung des Winkels [92]. Quadratur der Parabel [119]. Summe einer geometrischen Reihe [119]. Spirale [120]. Länge einer Kurve, Konkavität [126]. Kreismessung [127, 173]. Bezeichnung der Kegelschnitte [131]. Fläche der Ellipse [134]. Volumen des Durchdringungskörpers zweier Zylinder [175]. Kubische Gleichung [199]. Siebeneck [200].
Er war ein Freund Piatons und soll durch einen Brief an den Tyrannen Dionysios I von Syrakus Piaton vor dem Tode gerettet haben [Diog. L. VIII, Kap. 4 = § 79–83]. Man setzt daher die Zeit der Wirksamkeit von A. als etwa 400–360 v. Chr. an. Er wurde siebenmal zum Strategen gewählt.
A. arbeitete über Musiktheorie, deren zahlentheoretische Grundlagen, auch über die Entstehung und Fortpflanzung der Töne. Nach Boetius [De musica III, 11] bewies er, daß zwischen zwei Zahlen, die im „überteiligen“Verhältnis stehen, d. h. im Verhältnis (n+1):n, keine mittlere Proportionale (ganzzahlig) möglich ist. Ein etwas allgemeinerer Satz steht bei Euklid [El. VIII, 8]. Wahrscheinlich stammt das Buch VIII der El. von Archytas [van der Waerden, E. W., S. 182–188].
Für die Verdoppelung des Würfels, d. h. die Einschaltung zweier geometrischer Mittel zwischen zwei gegebenen Strecken, gab er eine raffinierte Konstruktion an, die von Eutokios [Archimedes, Op., Bd. 3, S. 84–89] nach Eudemos überliefert ist. Einen für Archytas möglichen Gedankengang gibt van der Waerden [E. W., S. 249–252].
Nach Vitruv [Arch. VII, Vorr., 14] hat A. „praecepta… de machinationibus” aufgeschrieben, nach Diog. L. [s. o.] soll er die Mechanik nach mathematischen Prinzipien systematisch behandelt haben (τά μηχαvικά ταĩς μαϑηματικαĩς προσχρησάμεvος άρχαĩς μεϑώδευσε).
Pappos berichtet, daß A. „fünf Bücher über körperliche Örter in Verbindung mit Kegelschnitten“geschrieben habe [Coli. ed. Hultsch S. 672] [130]. Dieses Werk muß älter sein als Euklids Werk über Kegelschnitte. A.s Schaffenszeit könnte also etwa 350–330 v. Chr. gewesen sein. - Hypsikles nennt im sog. Buch XIV von Euklids Elementen A. als Quelle für den Satz: „Derselbe Kreis umschließt das Fünfeck des Dodekaeders und das Dreieck des Ikosaeders, wenn diese Körper derselben Kugel einbeschrieben sind“[Euklid Op. Bd. 5, S. 6]. - Mehr ist von A. nicht bekannt.
Archimedes schreibt [SZ. Kap. 1]: „Aristarch von Samos… nahm an, daß die Fixsterne und die Sonne unbeweglich seien, die Erde sich um die Sonne, die in der Mitte der Erdbahn liege, in einem Kreise bewege, die Fixsternsphäre aber, deren Mittelpunkt im Mittelpunkt der Sonne liege, so groß sei, daß die Peripherie der Erdbahn sich zum Abstände der Fixsterne verhalte wie der Mittelpunkt der Kugel zu ihrer Oberfläche.“Eine Schrift von A. darüber ist nicht er¬halten. - [151]
Erhalten ist eine Schrift „Über die Größen und Abstände der Sonne und des Mondes“.
T. Heath: Aristarchus of Samos, the Ancient Copernicus. A History of Greek Astronomy to Aristarchos, together with Aristarchus’s Treatise on the Sizes and Distances of the Sun and Moon. A New Greek Text with Translation and Notes. Oxford: Clarendon Press 1913. Nachdruck Oxford 1959.
Geb. 384 v.Chr. in Stageira.
trat A. in die Akademie Piatons ein, der er bis zu Piatons Tod 348/7 angehörte. Dann hielt er sich zeitweise beim Fürsten Hermeias von Atarneus (Kleinasien), zeitweise in Mytilene auf Lesbos auf. 343 wurde er von König Philipp von Makedonien zum Erzieher seines Sohnes Alexander berufen. Nach dem Tod Philipps kehrte A. nach Athen zurück und gründete dort eine Schule (335), die Lykeion (nach dem Ort der Vorträge im Gymnasion Lykeion) oder Peripatos (nach einer benachbarten Wandelhalle - peripatein = umhergehen -) genannt wurde. Nach Alexanders Tod ging er wegen der antimakedonischen Haltung der Athener nach Chalkis auf Euböa (323), starb dort 322 v. Chr.
Op.: Aristotelis Opera, ed. I. Bekker im Auftrag der kgl. Preuß. Akad. Berlin: Reimer 1831. Nachdruck: Darmstadt: Wiss. Buchges. 1960. Nach dieser Ausgabe wird zitiert.
Darin Kap. 4: Die 10 Kategorien [106].
Peri Hermeneias. De interpretatione. Lehre vom Satz. (Über Formen der sprachlichen Ausdrucksweise.)
Anal.: Analytica priora. Erste Analytik. (Lehre vom Schluß. Syllogistik.)
Anal.: Analytica posteriora. Zweite Analytik. Darin: Die Grundlagen einer beweisenden Wissenschaft [110].
Top.: Topik. Buch VII handelt von der Definition.
Phys.: Physik. In Buch III: Unterscheidung des der Wirklichkeit nach (entelecheiä, actu) Seienden und des der Möglichkeit nach (dynamei, potentiä) Seienden. In Buch IV u. a.: Diskussion über das Leere. In Buch VIII, Kap. 5: Das Bewegungsgesetz [160].
Him.: Über den Himmel. De coelo.
W. u. V.: Vom Werden (Entstehen) und Vergehen.
Metaph.: Metaphysik.
Buch Δ enthält Erklärungen verschiedener Begriffe, u.a. Kap. 6: Das Eine [109]. Kap. 13: Die Quantität [106].
Politik.
Unt. L.: Über unteilbare Linien. (Alt, aber nicht von Aristoteles). Ferner Schriften über Ethik, Rhetorik, Poetik und Zoologie
Heath, Th. L.: Mathematics in Aristotle. Oxford 1949.
Heiberg, J. L.: Mathematisches zu Aristoteles. - Abh. zur Gesch. d. mathem. Wissensch. 18, 1904, S. 1–49. Auch einzeln erschienen: Leipzig 1904.
Tóth, Imre: Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum. Arch. Hist. Exact Sci. 3, 1967, S. 249–422.
Metaph. Δ13 = 1020a 7ff.: Erklärung des Begriffs „Größe“[106ff.].
Anal. I, 2 und 10 = 71 b 9ff., 76a 31 ff.: Über die Grundlagen einer beweisenden Wissenschaft [110 ff.].
Weitere Hinweise: A. über Thaies [72], über die Pythagoreer [81], über Sokrates [104]. Gattung und Art [106]. Definition; Größe, Grenze, zusammenhängend [106f]. Parallelogramm der Geschwindigkeiten [122]. Figurierte Zahlen [142]. Vier Elemente [159]. Bewegungslehre [159].
Nach Diogenes Laertius [IV, Kap. 6, 29] war Arkesilaos von Pitane zunächst Schüler von A., ging dann nach Athen und wurde Schüler von Theophrast. Also wird A. etwa gleichaltrig mit Theophrast (372–287) gewesen sein. Seine
Werke „Über die sich bewegende Kugel“und „Über die Auf- und Untergänge (der Sterne)“wurden von Euklid in den Phainomena benutzt. - [150]
Autolyci de sphaera quae movetur liber; de ortibus et occasibus libri duo, ed. F. Hultsch. Leipzig: Teubner 1885.
Deutsche Übersetzung von A. Czwalina: Autolykos: Rotierende Kugel und Aufgang und Untergang der Gestirne. - (Zusammen mit Theodosios von Tripolis: Sphaerik). Leipzig 1931. Ostw. Klass. 232.
Boetius, ca. 480–524 nach Chr. [142, 168] Schüler des Eukleides von Megara (ca. 450–370 v. Chr.). Wahrscheinlich identisch mit dem Bryson, der sich mit der Kreisquadratur beschäftigte und dabei den Satz (das Axiom) benutzte: Wozu es ein Größeres und ein Kleineres gibt, dazu gibt es auch ein Gleiches [95]. Literatur: O. Becker, Eud. II.
Cassiodorus Senator, 490–583 n.Chr. [168]. Geb. 3. 1. 106 in Arpinum. Studierte u.a. 78 in Athen, 78/77 bei Poseidonios in Rhodos. Auf weitere biographische Daten sei hier verzichtet. C. wurde am 7. 12. 43 v.Chr. bei Caieta ermordet.
Naturwissenschaftliche Angaben finden sich in den Schriften De natura deorum und De divinatione [166].
Um 350 v.Chr. Bruder des Menaichmos [Proklos, Math. Verz.], benutzte die von Hippias von Elis zur Dreiteilung des Winkels gefundene Kurve zur Quadratur des Kreises; sie heißt daher Quadratrix [92].
Ca. 350–280 v. Chr. Politiker und Philosoph in Athen, das damals zum Einflußbereich der Ptolemäer gehörte. Bei der Eroberung Athens durch den makedonischen Feldherrn und späteren König Demetrios I Poliorketes mußte er 307 nach Ägypten fliehen. Von D. beraten, gründete Ptolemaios I Soter des „Museion“(s. unter Euklid). Wahrscheinlich hat D. Euklid in Athen gekannt und seine Berufung nach Alexandria veranlaßt.
Geb. ca. 460 v. Chr. in Abdera, machte viele Reisen, hielt sich vielleicht auch in Athen auf, aber jedenfalls nur kurze Zeit. Er starb in seiner Heimat ca. 370 v.Chr.
D. hat die von Leukipp begründete Atomistik ausgebaut. Grundeigenschaften der Atome waren ihm Gestalt, Lage im Raum und relative Lage zueinander. [K. von Fritz in LAW]. [88, 158].
Von seinen mathematischen Werken ist fast nichts erhalten. Nach Archimedes [Meth. 1 = Op. Bd. 2, S. 430] hat er (ohne Beweis?) bemerkt, daß das Volumen des Kegels = 1/3 des Volumens des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe ist.
D. überlegte sich: „Wenn ein Kegel (παρά τήv βάσιv, also) parallel zur Grundfläche von Ebenen geschnitten wird, wie soll man sich die entstehenden Schnittflächen denken, gleich oder ungleich? Sind sie ungleich, dann werden sie den Kegel ungleichmäßig machen, da er viele stufenartige Einschnitte und Vorsprünge erhält; sind sie dagegen gleich, so werden (alle) Schnitte gleich sein, und der Kegel wird die Erscheinung eines Zylinders darbieten.“[Diels 68 B 155].
Diogenes Laertios, um 200 n. Chr.
Diog, L.: Diogenis Laertii Vitae Philosophorum. Ed. H. S. Long. 2 Bde. Oxford, University Press 1964. ( Griech. )
Diogenes Laertius: Leben und Meinungen berühmter Philosophen. Übers, von O. Apelt. Leipzig, Meiner 1921. Philos. Bibl. Bd. 53. (Deutsch) (Ein damals populäres Werk, das viele wichtige Daten enthält [71].)
Diokles, um 100 n.Chr.
Schrieb ein Werk über Brennspiegel; darin beschreibt er die Kissoide (K*iacrÖ£=Efeu), eine Kurve, mit der er die Aufgabe der Würfelverdoppelung, d. h. des Einschiebens zweier mittlerer Proportionaler zwischen zwei gegebenen Größen löst. Eutokios in [Archimedes Op. Bd. 3, S. 160 ff.], Pappos [III, Hultsch, S. 54, IV, Hultsch S. 270].
Anatolios, der ca. 270/280 n. Chr. Bischof von Laodicea war, widmete ihm eine Schrift über das ägyptische Rechnen. Das berichtet Psellos (11. Jh., Byzanz) in einem Brief [Op. Bd. 2, S. XVII, 38 f. S. Heath, Gr. M. Bd. 2, S. 448]. Also lebte Diophant etwa um 250 n. Chr.
Op.: Diophanti Alexandrini Opera omnia cum Graecis commentariis. Griech. und lat. Ed. P. Tannery. 2 Bde. Leipzig 1893, 1895. Darin: Ar.: Arithmetik. 6 Bücher. - P.: Über Polygonalzahlen.
Op. e. = Heath, Dioph.: Heath, Sir Thomas L., Diophantus of Alexandria. A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge 1895. 2. Aufl. 1910. Neudruck Dover Reprint 1964. ( Wichtigste Literatur über Diophant. )
Op. d., W.: Die Arithmetik und die Schrift über die Polygonalzahlen. Deutsch von G. Wertheim. Leipzig 1890.
Op. d., C.: Arithmetik des Diophantos aus Alexandria. Buch über die Polygonalzahlen. Deutsch von A. Czwalina. Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht. 1952.
Op. f.: Franz. Übers, von P. ver Eecke. Brügge 1926. Paris 1959.
Op. ngr.: Diophantou Arithmetika. Griechisch und neugriechisch. Ed. E. S. Stamatis. Athen 1963.
entdeckte Regiomotan eine Diophant-Handschrift.
Bombelli behandelt Teile daraus in seiner Algebra.
Lateinische Übersetzung von W. Holtzmann (Xylander) Basel.
Griechische Ausgabe von Bachet de Méziriac.
Aufl. mit Anmerkungen von Pierre de Fermat. Besorgt von dessen Sohn Samuel Fermat.
Die Arithmetik soll 13 Bücher umfaßt haben. Bekannt waren bis vor kurzem nur sechs. Vier weitere Bücher wurden in arabischer Übersetzung aufgefunden; sie sind als Buch IV-VII einzuordnen.
Rashed, Roshdi: Les travaux perdus de Diophant. - Revue d’hist. sciences 17, 1974, 97–122, 18, 1975, 3–30.
Sesiano, J.: Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qustä ibn Lüqä. New York, Heidelberg, Berlin: Springer 1982. Überarbeitete Fassung der Dissertation Providence, USA, 1975.
Polygonalzahlen [142], Potenzen und Rechenoperationen [143], Beispiele [144].
Empedokles von Akragas, ca. 500–430 v. Chr.
E. ist der Schöpfer der Lehre von den vier Elementen Feuer, Luft, Wasser, Erde [88, 158]; bewegende Kräfte sind Liebe und Streit.
Komödiendichter in Syrakus um 480–470 v.Chr. [81].
Geb. in Kyrene ca. 276 v. Chr. (= etwas jünger als Archimedes, der seine Methodenlehre an E. sandte), kam um 245 nach Ägypten, wurde Erzieher des Kronprinzen und Vorsteher der Bibliothek in Alexandria, starb dort ca. 194 v.Chr.
E. erfand ein Gerät zur Einschaltung zweier mittlerer Proportionaler (Würfelverdoppelung) [Eutokios in Archimedes Op. Bd. 3, S. 88–97] [91]. - Das „Sieb des E.“, ein Verfahren zur Ermittlung der Primzahlen, beschreibt Nikomachos in Ar. I, 13. - Über sein Verfahren zur Messung des Erdumfangs [148] berichten Kleomedes, M. C., I, 10, Strabon II, 5, Plinius, Nat. Hist. II, 247. - E. entwarf eine Erdkarte, deren Grundgerüst der ungefähre Parallelkreis durch Gibraltar, Rhodos und das Taurusgebirge und der ungefähre Meridian durch Meroe, Alexandria, Rhodos und die Mündung des Borysthenes (Dnjepr) waren [Strabon, II, 5, § 7]. - E. verfaßte eine „Chronographie“, das ist ein Versuch, die Daten politischer und literarischer Ereignisse festzuhalten; als zeitliches Bezugssystem führte er die Olympiaden ein.
Um 320 v. Chr. Schüler von Aristoteles, Freund von Theophrast. Schrieb u. a. eine Geschichte der Astronomie, eine Geschichte der Arithmetik, eine Geschichte der Geometrie, aus der antike Autoren, insbesondere Proklos, viel entnommen haben [70].
Sätze von Thaies [76]. Flächenanlegung pythagoreisch [87]. Möndchen des Hippokrates [97].
Die antiken Angaben über sein Leben sind nicht eindeutig. Wir folgen hier dem Artikel von K. von Fritz im LAW (1965) und geben zusätzlich die Daten von Lasserre (s. u.) an.
E. ist etwa 400 v.Chr. (L. 295) in Knidos geboren. Nach Diog. L. [VIII, 86–91] war er in der Geometrie Schüler des Archytas, in der Medizin des Siziliers Philiston. Im Alter von 22 Jahren kam er nach Athen, reiste von dort nach Ägypten (L. 365/4), wo er sich 16 Monate aufhielt und an einem Observatorium in der Nähe von Heliopolis astronomische Beobachtungen anstellte. Danach leitete er eine Schule in Kyzikos, ging 368 (L. 350) nach Athen und „scheint dort während Piatons zweiter sizilischer Reise (367–365) und bei Aristoteles’ Eintritt in die Akademie stellvertretender Vorsteher der Akademie gewesen zu sein“. (Dagegen L.: „Sicher trat er nicht in die Akademie ein“. S. 141). Später kehrte E. in seine Heimatstadt zurück und starb dort etwa 347 (L.: 342/1). (E. soll im Alter von 53 Jahren gestorben sein und Piaton überlebt haben.)
In der Mathematik begründete er die Proportionenlehre für allgemeine Größen (Euklid, El. V) (s. hier Abschnitt 2.3.1) und die Exhaustionsmethode (s. 2.3.2), in der Astronomie gab er mit der Theorie der konzentrischen Sphären erstmals eine mathematische Darstellung der Planetenbewegungen [151].
Op. L.: = Lasserre: Eudoxos: Die Fragmente des Eudoxos von Knidos. Hrsg., übersetzt (deutsch), komm, von François Lasserre. Berlin: W. de Gruyter 1966.
Becker, O.: Eudoxos-Studien.
Riddell, R. C.: Eudoxan Mathematics and the Eudoxan Spheres. Arch. Hist. Exact Sci. 20, 1979, S. 1–19. (Eine Erklärung für die Konzeption der konzentrischen Sphären.)
Fowler, D. H.: Anthyphairetic Ratio and Eudoxan Proportion. Arch. Hist. Exact Sci. 24, 1981, S. 69–72.
Er war jünger als Eudoxos und älter als Archimedes, lebte wahrscheinlich zunächst in Athen, war Platoniker [Proklos, Math. Verz.]. Bei der Gründung des Museions in Alexandria (bald nach 300 v. Chr.) wurde er dorthin berufen und begründete dort eine einzigartige mathematische Schule. Apollonios soll bei seinen Schülern studiert haben; das dürfte um 250 v.Chr. gewesen sein. Demnach kann die Lebenszeit von Euklid etwa auf 340–270 angesetzt werden.
Museion“bedeutet zunächst ein Musenheiligtum. Unter diesem Namen gründete Ptolemaios I Soter auf Rat des Demetrios von Phaleron ein Forschungsinstitut, in dem zahlreiche Gelehrte und Künstler aller Gebiete gemeinsam lebten und arbeiteten; dazu gehörte eine große Bibliothek. Das Museion bestand bis 389 n.Chr. Sein letzter Gelehrter war Theon von Alexandria.
Murdoch, J. In DSB
Folkerts, M.: Probleme der Euklidinterpretation. Centaurus 23, 1980, S. 185–215.
Steck, M.: Bibliographia Euclideana. Nach dem Tode des Verf. hrsg. von M. Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg 1981. ( Ausführliche Beschreibung von Handschriften und Drucken, Abbildungen zahlreicher Titelblätter )
Theon von Alexandria besorgte eine griechische Ausgabe, die bis ins 19. Jh. maßgebend war. 1808 entdeckte Peyrard einen Text, der auf eine vor-theonische Fassung zurückgeht.
Mehrere arabische Gelehrte haben die El. ins Arabische übersetzt, so al-Haggäg (wirkte zwischen 786 und 833, wahrscheinlich in Bagdad), ferner Ishäq ibn Hunain (gest. in Bagdad 910/911), dessen Übersetzung verloren ist; erhalten ist eine Bearbeitung von Täbit ibn Qurra (836–901).
Adelhard von Bath übersetzte die El. aus dem Arabischen ins Lateinische (zwischen 1116 und 1142); eine Neubearbeitung lieferte Campanus (kurz vor 1260 ). Dieser Text wurde 1482 in Venedig gedruckt. 1505 erschien eine Übersetzung aus dem Griechischen ins Lateinische von Zamberti, 1533 eine Edition des griechischen Textes durch Grynaeus (Basel), 1572 eine weitere lateinische Übersetzung von Commandino.
Op.: Euclidis Opera omnia. Ed. J. L. Heiberg und H. Menge. Leipzig: Teubner. Bd. 1–4: Euclidis Elementa. I-XIII. Ed. Heiberg 1883–1885.
Bd. 5: (Die nicht von Euklid stammenden Bücher) XIV, XV, Scholia in Elementa cum Prolegomenis criticis et Appendicibus. Ed. Heiberg 1888.
Bd. 6: Euclidis Data cum commentario Marini et scholiis antiquis. Ed. Menge 1896.
Bd. 7: Euclidis Optica, Opticorum Recensio Theonis, Catoptrica, cum scholiis antiquis. Ed. Heiberg 1895.
Bd. 8: Euclidis Phaenomena et Scripta Música. Ed. Menge. Fragmenta. Ed. Heiberg 1916. (Neue Ausgabe, hrsg. von E. Stamatis. Leipzig: Teubner, seit 1969 )
El.: Euklid: Die Elemente Buch I-XIII, übers, von Cl. Thaer. Leipzig 1933–1937. Nachdruck Darmstadt: Wiss. Buchges. 1962. Ich habe gewöhnlich diese Ausgabe benutzt. Ich zitiere nach der Nummer des Buches (lat. Ziffern) und der Nr. der Definition oder des §. Das ist unabhängig von der Ausgabe.
El. e.: Heath, T. L.: The Thirteen Books of Euclid’s Elements, translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 3 Bde. Cambridge 1908. – 1926. - Nachdruck New York: Dover.
El. f.: Peyrard, F.: Les Eléments d’Euclide, grec, latin, français. 3 Bde. Paris 1814–1818.
El. (Ar.) f.: Itard, J.: Les livres arithmétiques d’Euclide. Paris: Hermann 1961. Die Bücher VII-IX, Übersetzung mit Einführung und Kommentar.
Data: Die Data von Euklid, übers, von Cl. Thaer. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer 1962.
s. Heath in El. e., Itard in El. (Ar.) f.
Heiberg, J. L.: Studien über Euklid. Leipzig 1882.
Beckmann, F.: Neue Gesichtspunkte zum 5. Buch Euklids. Arch. Hist. Exact Sci. 4, 1967/68, S. 1–144.
Malmendier, N.: Eine Axiomatik zum 7. Buch der Elemente von Euklid. Mathem.-Physik. Semesterberichte 22, 1975, S. 240–254.
Seidenberg, A.: Did Euclid’s Elements, Book I, Develop Geometry Axiomatically? Arch. Hist. Exact Sci. 14, 1974/75, S. 263–295. van der Waerden, B. L.: Postulate.
Die folgende Skizze des Inhalts soll zeigen, in welchem Zusammenhang die einzelnen zitierten Stellen stehen, und einen Eindruck davon geben, wie folgerichtig dieses Werk aufgebaut ist.
Buch I. Definitionen [107, 109]
Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
Eine Linie breitenlose Länge.
Die Enden einer Linie sind Punkte.
Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt [109].
Ein Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.
Die Enden einer Fläche sind Linien.
Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmäßig liegt.
Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander gerade fortzusetzen.
Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade sind, heißt der Winkel geradlinig.
Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter; und die stehende gerade Linie heißt senkrecht zu (Lot auf) der, auf der sie steht.
Stumpf ist ein Winkel, wenn er größer als ein Rechter ist,
Spitz, wenn kleiner als ein Rechter.
Eine Grenze ist das, worin etwas endigt.
Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfaßt wird [107].
Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfaßte Figur mit der Eigenschaft, daß alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleich sind [109];
Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt.
Ein Durchmesser des Kreises ist jede durch den Mittelpunkt gezogene, auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke; eine solche hat auch die Eigenschaft, den Kreis zu halbieren. - [78].
Ein Halbkreis ist die vom Durchmesser und dem durch ihn abgeschnittenen Bogen umfaßte Figur; [und Mittelpunkt ist beim Halbkreise derselbe Punkt wie beim Kreise.]
(Erklärung der verschiedenen Arten von geradlinigen Figuren, Dreiek ken und Vierecken)
Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen. [Abschnitt 3.3.4]
Daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
Daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
Daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann
Ax. 10) Daß alle rechten Winkel einander gleich sind
Ax. 11) Und daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. [Abschnitt 3.3.4]
Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
Wenn Ungleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen ungleich.]
[Die Doppelten von demselben sind einander gleich.]
[Die Halben von demselben sind einander gleich.]
Was einander deckt, ist einander gleich.
Das Ganze ist größer als der Teil.
[Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum.]
Es folgen Grundkonstruktionen (Abtragen von Strecken und Winkeln, Fällen von Loten usw.) und die dazu erforderlichen Sätze, insbesondere Kongruenzsätze. § 16: Satz vom Außenwinkel [205]. § 27-31 bringen Sätze über Parallelen, von § 29 an unter Benutzung des Parallelenpostulats, das für das Folgende unentbehrlich ist [89]. § 32: Winkelsumme im Dreieck. § 33,34: Existenz von Parallelogrammen (und damit von Rechtecken). Die Diagonale halbiert das Parallelogramm. - Dann folgt die Lehre vom Flächeninhalt und der Satz des Pythagoras.
Def. 2: Daß sie den Kreis berühre (Tangente sei) sagt man von einer geraden Linie, die einen Kreis trifft, ihn aber bei Verlängerung nicht schneidet [121]. Def. 6: Kreisabschnitt ist die von einer Strecke und einem Kreisbogen be¬grenzte Figur.
Def. 7: Winkel des Abschnitts ist der von der Strecke und dem Kreisbogen umfaßte.
16: Eine rechtwinklig zum Kreisdurchmesser vom Endpunkt aus gezogene gerade Linie muß außerhalb des Kreies fallen, und in den Zwischenraum der geraden Linie und des Bogens läßt sich keine weitere gerade Linie nebenhineinziehen.
Der Winkel des Halbkreises ist größer als jeder spitze geradlinige Winkel, der Restwinkel kleiner.
Diese Aussagen über den Berührungswinkel sind mit Rücksicht auf den Zwischenwertsatz viel diskutiert worden, z.B. von Proklos [95] und im 16.Jh. von Clavius und Peletier.
Bisher wurden keine Verhältnisse geometrischer Größen, also keine Ähnlichkeit, und keine Flächeninhalte krummlinig begrenzter Figuren betrachtet. Dazu ist zunächst eine allgemeine Theorie der Größenverhältnisse erforderlich. Sie wird in Buch V entwickelt, das auf Eudoxos zurückgehen soll [115].
Def. 4: Daß sie ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vervielfältigt einander übertreffen können.
Def. 5: Man sagt, daß Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfältigung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind [115].
19: Ähnliche Dreiecke (§ 20: Ähnliche Vielecke) stehen zueinander zweimal im Verhältnis entsprechender Seiten. (D. h. die Flächen verhalten sich wie die Quadrate der Seiten.)
In § 27–29 steht die geometrische Lösung quadratischer Gleichungen. Sie steht mit Recht an dieser Stelle, denn Euklid spricht nicht (wie ich es vereinfachend getan habe [128]) von Rechtecken und Quadraten, sondern z. B. in § 28 von der Aufgabe: „An eine gegebene Strecke ein einer geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm so anzulegen, daß ein einem gegebenen ähnliches Parallelogramm fehlt.“
Die arithmetischen Bücher VII-IX scheinen den konsequenten Aufbau zu unterbrechen. Aber gerade wenn man weiß, daß die Verhältnisse ganzer Zahlen für die Geometrie nicht ausreichen, ist es sinnvoll, die Theorie dieser Zahlenverhältnisse zu entwickeln, um zu sehen, wie weit man damit kommt und was man damit nicht mehr erreichen kann. Z.B. wird in VI, § 12 gezeigt, daß man zu drei Strecken stets mittels ähnlicher Dreiecke eine vierte proportionale Strecke konstruieren kann, während in IX, § 19 gezeigt wird, daß es zu drei Zahlen a,b,c nur dann eine vierte Proportionale gibt, wenn bc durch a teilbar ist.
Buch VII beginnt mit der klassischen Definition der Zahl: Def. 1: Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird [81]. Def. 2: Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. Def. 3–5 beschreiben die Verhältnisse, in denen zwei Zahlen zueinander stehen können. Dazu wird in § 4 bewiesen, daß es keine anderen Verhältnisse zwi¬schen Zahlen geben kann. In § 20 wird auf dieser Grundlage die Gleichheit von Zahlenverhältnissen definiert [114].
Vorher wird die Einteilung der Zahlen in gerade und ungerade usw. [81], Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen erklärt. Auf die Definitionen folgt die Erklärung der Wechselwegnahme (wechselseitigen Subtraktion): § 1: Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher Zahlen abwechselnd immer die kleinere von der größeren weg, so müssen, wenn niemals ein Rest die vorangehende Zahl genau mißt, bis die Einheit übrig bleibt, die ursprünglichen Zahlen gegeneinander prim sein.
In § 2 wird nach dieser Methode der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ermittelt.
Von dem reichen Inhalt der arithmetischen Bücher erwähne ich nur noch die Frage der Einschaltung von einem oder zwei geometrischen Mitteln zwischen zwei gegebenen Zahlen in Buch VIII, die für die Rationalität oder Irrationalität von Quadrat-und Kubikwurzeln entscheidend ist, ferner die Sätze über die Zerlegung einer Zahl in Primzahlen [141], sowie die Lehre vom Geraden und Ungeraden und den Satz über vollkommene Zahlen am Ende von Buch IX [82].
In Buch X, das vermutlich von Theaitetos stammt, wird eine Theorie der quadratischen Irrationalitäten entwickelt. Es beginnt ähnlich wie Buch VII: § 1. Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher (gleichartiger) Größen von der größeren ein Stück größer als die Hälfte weg und vom Rest ein Stück größer als die Hälfte und wiederholt dies immer, dann muß einmal eine Größe übrig bleiben, die kleiner als die kleinere Ausgangsgröße ist.
Dieser Satz folgt leicht aus V, Def. 4. Er ist die Grundlage der ganzen griechischen Infinitesimalmathematik. - [117].
2: Mißt, wenn man unter zwei ungleichen Größen abwechselnd immer die kleinere von der größeren wegnimmt, der Rest niemals genau die vorhergehende Größe, so müssen die Größen inkommensurabel sein. Den Hauptinhalt des Buches bildet eine Theorie und Klassifikation der Irrationalitäten, die in Buch XIII benutzt wird.
Am Ende des Buches steht der Beweis dafür „daß in jedem Quadrat die Diagonale der Seite linear inkommensurabel ist“. Er könnte am Anfang des Buches stehen, denn er zeigt, daß es Strecken gibt, die linear inkommensurabel, aber quadratisch kommensurabel sind - andernfalls ginge die ganze Theorie ins Leere. Aber die Methode, mit der das bewiesen wird, ist eine ganz andere als die in § 1 gelehrte allgemeine Methode.
Mit Buch XI beginnt die Geometrie der räumlichen Figuren. Bemerkenswert ist, daß Kugel, Kegel und Zylinder durch Bewegung (Drehung eines Halbkreises, eines rechtwinkligen Dreiecks, eines Rechtecks) definiert werden [131]. Dann folgen (ähnlich wie in Buch I) grundlegende Sätze, z. B.
Wenn zwei Ebenen einander schneiden, ist ihr Schnittgebilde eine gerade Linie, ferner Sätze, die ohne Infinitesimalbetrachtungen beweisbar sind, z. B.
Parallelflache unter derselben Höhe verhalten sich zueinander wie die Grundflächen.
§ 33: Ähnliche Parallelflache stehen zueinander dreimal im Verhältnis entsprechender Kanten.
In Buch XII wird die Exhaustionsmethode angewandt, um zu beweisen: § 2: Kreise verhalten sich zueinander wie die Quadrate über den Durchmessern [117].
Zusatz: Jede Pyramide ist ein Drittel des Prismas, welches mit ihr dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe hat.
Jeder Kegel ist ein Drittel des Zylinders, der mit ihm dieselbe Grundfläche und die gleiche Höhe hat.
In einem Scholion [Euklid, Op. Bd. 5, S. 628] wird dieser Satz dem Eudoxos zugeschrieben. Man wird das für das ganze Buch annehmen dürfen.
Kugeln stehen zueinander dreimal im Verhältnis ihrer Durchmesser.
Buch XIII behandelt die Konstruktion der regelmäßigen Polyeder. Es wird angegeben, zu welcher Klasse von Irrationalitäten das Verhältnis der Kanten zum Kugeldurchmesser gehört.
Geb. ca. 480 n. Chr. in Askalon (Palästina), besuchte die Schule in Alexandria z. Z. als Ammonios dort Mathematik lehrte, wirkte in Byzanz. E. schrieb Kommentare zu drei Werken des Archimedes (K. u. Z., Kr., Gl. Fl.) [Archimedes Op. Bd. 3] und zu den ersten vier Büchern des Apollonios über Kegelschnitte [Apollonios Op. Bd. 2] [70]. Der Kommentar zu K. u. Z. enthält 12 Lösungsmethoden für die Verdoppelung des Würfels mit Angabe ihrer Erfinder [93], darunter die „Triaden des Menaichmos“[131].
ver Eecke, P.: Introduction á Eutokios. Archives Internationales d’Histoire des Sciences. Jg. 7, 1954, S. 131–132.
Ob sein Name griechischen oder lateinischen Ursprungs ist, ist unsicher, auch Geburtsort und Geburtsdatum sind unsicher. Wahrscheinlich ist G. auf Rhodos geboren, war Schüler von Poseidonios, schrieb seine Werke etwa 73-67 v. Chr. Mit dem Mathematiker, der bei al-Nayrizi „Aganis“genannt wird, ist G. wahrscheinlich nicht identisch [206]. Von seinen Werken ist erhalten:Astr.: Gemini elementa astronomiae. Ed. mit deutscher Übersetzung von K. Manitius. Leipzig: Teubner 1898.
Aus einer mathematischen Enzyklopädie, die nach Eutokios [Komm, zu den Kegelschnitten des Apollonios, Apollonios Op. Bd. 2, S. 170] den Titel „Theorie der Mathematischen Wissenschaften“(τῶv μαϑημάτωv ϑεωv ϑεωρία) hatte, haben Proklos u. A. viel zitiert. Ein Stück über die Gliederung der Mathematik ist bei Heron [Op. Bd. 4, S. 97–108] wiedergegeben.
Ca. 485–380 v.Chr. Einer ber berühmtesten Sophisten; Redner und Lehrer der Rhetorik. 427 war er als Führer einer Gesandtschaft der Leontiner in Athen.-[102].
Gomperz, H.: Sophistik und Rhetorik.
Ca. 560/550–480 v. Chr. Seine Werke sind nur in Fragmenten erhalten.
Erdbeschreibung [161]. (Von Herodot oft benutzt und kritisiert. - Verbesserung der Erdkarte des Anaximander.)
Genealogiai. (Versuch „eine Chronologie zu schaffen, in die sich die gesamte Sagengeschichte einordnen ließ. An dieser übte er eine Art rationalistischer Kritik, indem er „Übertreibungen“reduzierte und Wunderbares und Unglaubliches psychologisch deutete.“[K. von Fritz in LAW].)
Geb. ca. 388 v.Chr. in Herakleia am Pontos, kam vor 364 nach Athen, schloß sich an Speusipp an (den Neffen und Nachfolger Piatons in der Leitung der Akademie), hörte auch Aristoteles. Er „war ein reicher Mann,… hielt auf feine und weiche Kleidung und war überaus stattlich von Figur“[Diog. L. V, Kap. 6, 86–94]. Nach dem Tod von Speusipp kandidierte er für die Leitung der Akademie, unterlag aber knapp dem Xenokrates. Darauf ging er in seine Heimat zu¬rück. Er starb ca. 310.
Diogenes L. schreibt: „Es gibt von ihm ganz hervorragende und treffliche Schriften“, und zwar über sehr verschiedenartige Gegenstände: Ethik, Physik, Astronomie, Grammatik, Musik, Rhetorik, Poetik, Geschichte, „auch über Geometrie und Dialektik“.
H. vertrat die Ansicht, daß die Erde sich täglich einmal um ihre Achse dreht, ferner daß Merkur und Venus um die Sonne kreisen, die Sonne und alle übrigen Planeten um die Erde [151].
Heath: Aristarch, S. 249–283, besonders 252–255.
Ein Teil seiner Lehre wurde hier (im Anschluß an Nietzsche) so interpretiert, daß die Veränderlichkeit des Geschehens von unveränderlichen und zwingenden Naturgesetzen beherrscht wird [74]. - Sonne und Sterne werden täglich neu entzündet [148].
Geb. etwa 484 v. Chr. in Halikarnassos, war verwickelt in die Parteikämpfe der Heimatstadt, wurde verbannt nach Samos, machte Reisen ins Schwarzmeergebiet, nach Thrakien und Makedonien, nach Babylon und nach Ägypten, ging etwa 447 nach Athen, dann 443/2 in die 444 von Perikles gegründete Kolonie Thurioi am Golf von Tarent, erlebte noch den Ausbruch des Peloponnesischen Krieges 430 und starb wahrscheinlich wenig später in Thurioi.
Hist.: Herodot. Historien. Griech.-deutsch hrsg. von J. Feix. 2 Bde. München: Heimeran 1963.
Zur Lebenszeit: In der Dioptra [35] ist eine Mondfinsternis beschrieben, die im Jahre 62 n. Chr. stattgefunden hat.
Seine Werke haben den Charakter von Handbüchern für Techniker; sie benutzen ältere Quellen und sind selbst nicht selten später überarbeitet worden.
Op.: Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia. Leipzig: Teubner.
Bd. 1: Pneumatica et automata. Ed. W. Schmidt 1899.
Bd. 2: Mechanica et catoptrica. Ed. L. Nix, W. Schmidt 1900. ( Die einfachen Maschinen: Hebel, Rolle usw. - In der Catopt. das Reflexionsgesetz und Anwendung von Spiegeln )
Bd. 3: Rationes dimetiendi (= Metrica) et commentatio dioptrica. Ed. H. Schoene 1903. (Regeln zur Berechnung von Flächen, u.a. von regelmäßigen Polygonen [38], Ellipse und Parabel, von Oberflächen von Zylinder, Kegel und Kugel. - Beschreibung der Dioptra, d. i. ein einem Theodoliten ähnliches Vermessungsinstrument, und des älteren Asteriskon (= Groma) [60]; Behandlung von Vermessungsaufgaben [60, 76])
Bd. 4: Definitiones. Heronis quae feruntur Geometrica. Mit Benutzung von Vorarbeiten von W. Schmidt ed. J. L. Heiberg 1912.
Bd. 5: Heronis quae feruntur Stereometrica et de Mensuris. Mit Benutzung von Vorarbeiten von W. Schmidt ed. J. L. Heiberg 1914.
Lit.: A. G. Drachmann: The Mechanical Technology of Greek and Roman Antiquity. Kopenhagen: Munksgaard 1963.
Um 700 v. Chr., lebte in Askra (Böotien). Werke:
Theogonie. (Götterentstehung). „Eine Entstehungsgeschichte der Welt, in der eine Fülle von teils alten mythischen Überlieferungen, teils mehr theologisch-philosophischen Spekulationen in einen ursprünglich keineswegs gegebenen systematischen, d. h. vor allem genealogischen Zusammenhang gebracht sind.“G. Knebel in LAW. - [161]
Werke und Tage. Enthält u. a. Regeln für die Landarbeit, Vorschriften über die richtige Zeit und Art der Akkerbestellung.
Geb. in Nikaia (Bithynien), führte von 141 bis 126 genaue astronomische Beobachtungen in Rhodos, z.T. auch in Alexandria durch, wozu er auch Instrumente ersann. Von seinen Werken ist nur ein Kommentar zu dem Lehrgedicht „Phainomena“(Himmelserscheinungen) von Aratos (3.Jh. v.Chr.) erhalten. Über seine Leistungen berichtet teilweise Plinius [Nat. Hist. II, 53, 57, 95, 188, 247], vor allem aber Ptolemaios. H. bemerkte die Präzession der Tag- und Nachtgleichen, beobachtete einen neuen Stern (134), stellte einen Fixsternkatalog auf, beschrieb die Bewegungen von Sonne und Mond nach der Exzentertheorie [151]. Die Theorie der (übrigen) Planeten, bei denen Ptolemaios die Epizykel- und Exzentertheorie kombinierte, scheint H. noch nicht ausgearbeitet zu haben. H. teilte als erster den Kreis auf seinen Instrumenten in 360°. Er berechnete eine Sehnentafel, nach Toomer vermutlich mit einer Schrittweite von 71/2° [154].
Heath: Greek Astronomy. London-New York 1932.
Toomer, G. J.: The Chord Table of Hipparchus and the Early History of Greek Trigonometry. Centaurus 18, 1974, S. 6–28.
Seine Lebenszeit wird von van der Waerden [Pyth. S. 74] auf „etwa zwischen 520 und 480“, von K. von Fritz [Ink., Gr. S. 459] auf etwa 450 v. Chr. angesetzt.
H. hat akustische Experimente mit Metallscheiben verschiedener Dicke und mit Vasen, die ganz oder teilweise mit Wasser gefüllt waren, angestellt [Diels 18, 12, 13].
Er hat sich mit der Theorie der Proportionen beschäftigt, dabei u. a. den Namen „harmonisches Mittel“eingeführt.
Iamblichos schreibt [V. P. 247]: „Wie andere behaupten, zürnte die Gottheit denjenigen, welche die Lehren des Pythagoras an die Öffentlichkeit trugen. So sei der Mann wie ein Frevler im Meer ertrunken, der den Aufbau des Körpers mit zwanzig Ecken verriet, die Tatsache, daß der Zwölfflächner - einer der sogenannten fünf Körper - sich einer Kugel einbeschreiben läßt. (In V. P. 88 ist hierfür Hippasos genannt.) Einige sagen auch, ihm sei dies widerfahren, weil er das Geheimnis des Irrationalen und Inkommensurablen verraten habe.“[101]
Wegen der Entdeckung des Inkommensurablen ziehe ich die spätere Datierung der Lebenszeit des H. vor. Zwischen der Lehre des Pythagoras „Alles ist Zahl“und der Entdeckung, daß nicht alles Zahl ist, möchte ich den Pythagoreern etwas Zeit lassen. Die zum Beweis der Inkommensurabilität benötigten Kenntnisse und Methoden, ja dieser Begriff selbst, mußten doch erst erarbeitet werden.
Aristoteles schreibt [Metaph. A 3 = 984 a 7]: „Hippasos von Metapont und Heraklit von Ephesos haben das Feuer“als Ursprung der Dinge angesehen. Das läßt darauf schließen, daß Aristoteles den Hippasos als älter oder gleich alt mit Heraklit angesehen hat; aber absolut zwingend ist dieser Schluß wohl nicht.
Nach Theon von Smyrna [Diels 18; 13] haben „Lasos von Hermione, wie man sagt, und Hippasos von Metapont“… akustische Versuche mit Vasen durchgeführt. Da Lasos um 520 gelebt hat, würde dieser Satz für die frühe Datierung sprechen, wenn man aus ihm schließt, daß Lasos und Hippasos diese Versuche gemeinsam oder gleichzeitig durchgeführt haben. Aber das steht ja gar nicht da.
Für eine gründliche Diskussion der Argumente verweise ich auf die oben angegebene Literatur.
Um 420 v. Chr. Nach Piaton [Hippias maior, 282 d, e] war er zu gleicher Zeit wie Protagoras in Sizilien, war aber „viel jünger“als dieser. H. unternahm zu Vorträgen und als Gesandter seiner Heimatstadt Reisen durch die ganze griechische Welt, trat bei den Olympischen Spielen im Redewettkampf auf. Seine Vorträge umfaßten alle Gebiete der Bildung und Erziehung; er lehrte (als erster) die Fächer des später sog. Quadriviums: Arithmetik, Astronomie, Geometrie, Musik [Piaton, Protagoras 318 e]. H. leistete die Dreiteilung des Winkels mittels der später (s. Deinostratos) Quadratrix genannten Kurve [Proklos, K. Eukl. S. 65, 271, 356] [91].
Schilderungen bei Piaton in den Dialogen Hippias minor, Hippias maior, Protagoras.
Wirkte in Athen etwa 450–430 v.Chr.
H. führte die Aufgabe der Würfelverdoppelung auf das Einschalten zweier geometrischer Mittel zwischen zwei gegebenen Größen zurück [Eutokios im Komm, zu Archimedes K. u. Z., Archimedes, Op. Bd. 3, S. 88] [2.35], quadrierte von Kreisbögen begrenzte Möndchen [Rudio] [97], schrieb „Elemente“der Geometrie [Proklos, Math. Verz.] [99].
Rudio, F.: Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig: Teubner 1907.
Becker, O. Hipp.: Zur Textgestaltung des eudemischen Berichts über die Quadratur der Möndchen. Qu. u. St. B 3, 1936, S. 411–419.
Etwa gleichzeitig lebte der Arzt Hippokrates von Kos (geb. 460 v. Chr., gest. in hohem Alter in Larissa).
Tochter von Theon von Alexandria. Philosophin und Mathematikerin, schrieb Kommentare zu Diophant, Apollonios und Ptolemaios, die alle verloren sind. Sie wurde von Christen beschuldigt, den Stadtpräfekten gegen den Bischof Kyrillos aufgewiegelt zu haben, und 415 n.Chr. ermordet.
Jh. v.Chr. (vor Hipparch?). Verfasser des sog. Buches XIV der Elemente von Euklid (Sätze über das Ikosaeder und Dodekaeder). Diophant nennt ihn als Autor der Erklärung (Definition) der Polygonalzahlen als Reihen [Polygonalzahlen § 4] [142]. Des H. Schrift Anaphorikos (Aufgang der Sternbilder) ist die erste griechische Schrift, in der die Einteilung des Kreises (der Ekliptik) in 360 Grad angegeben wird [Heath, Gr. M. Bd. 2, S. 214]. Ferner enthält sie Sätze über die Summe arithmetischer Reihen [Neugebauer, MKT Bd. 3, S. 78]. Beziehungen zur babylonischen Astronomie sind wahrscheinlich.
An.: Manitius, K.: Des Hypsikles Schrift Anaphorikos nach Überlieferung und Inhalt kritisch behandelt. Programm des Gymnasiums zum heiligen Kreuz in Dresden. Dresden 1888.
Ca. 250-330 n. Chr. Geb. in Chalkis im südl. Syrien (Koile-Syrien), war Schüler von Porphyrios, Neuplatoniker, gründete eine Schule in Apameia (Syrien). I. schrieb eine Art Enzyklopädie der Pythagoreischen Lehre.
V. P.: Iamblichos: Pythagoras. Legende, Lehre, Lebensgestaltung. Griech. u. deutsch ed. von M. von Albrecht. Zürich und Stuttgart: Artemis Verlag 1963. [80].
Auch: De vita Pythagorica Uber. Ed. L. Deubner. Leipzig: Teubner 1937. Neuauflage, besorgt von U. Klein. Stuttgart 1975.
Protr.: Iamblichi Protreptikos. Ed. H. Pistelli. Leipzig 1888. Math.: Iamblichi de communi mathematica scientia. Ed. N. Festa. Leipzig 1891.
Nik.: Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber. Ed. H. Pistelli. Leipzig 1894. [82].
Theol. Ar.: Theologumena arithmeticae. Ed. V. de Falco. Leipzig: Teubner 1922.
Bab.: Iamblichi Babyloniacorum Reliquiae. Ed. E. Habrich. Leipzig: Teubner 1960.
Römischer Feldmesser, wohl 2. Jh. n. Chr.
Fluminis varatio. Übermessung eines Flusses [77], in Blume… (s. unter Agrimensoren) Bd. 1, S. 285f.; Erläuterung: Bd. 2, S. 340. Zuweisung unsicher.
Jh. v.Chr.? K. benutzt und zitiert Poseidonios (135–51 v.Chr.), lebte also später als dieser. Er nennt Ptolemaios nicht; danach läßt sich vermuten, daß er früher als Ptolemaios lebte. Vielleicht war er Schüler von Poseidonios.
Sein Werk enthält Berichte über die Erdmessung des Eratosthenes und eine ähnliche des Poseidonios [148].
M. C.: Cleomedis de motu circulari corporum caelestium libri duo. Ed. mit lat. Übers. Hermann Ziegler, Leipzig 1891.
M. C. d.: Kleomedes. Die Kreisbewegung der Gestirne. Deutsch von A. Czwalina. Leipzig 1927. Ostwalds Klass. Nr. 220.
Geb. ca. 800 n. Chr. in Hypate (Thessalien). Philosoph und Mathematiker in Byzanz, Prof. am Madaurapalast. Neubegründer und Leiter der Bardas-Universität (863). Man verdankt L. die besten Handschriften der griechischen mathematischen Klassiker. - Bei arithmetischen Sätzen verwendet er Buchstaben als Variable für Zahlen, nicht in ihrer Bedeutung als bestimmte Zahlen. Vorlesungsnotizen sind wiedergegeben in Euklid Op. Bd. 5, S. 714–718. - [K. Vogel im LAW].
Mitte des 5.Jh. v.Chr., aus Milet. Begründer des Atomismus [88, 158]
Um 360 v. Chr. Schüler des Eudoxos von Knidos. Löste die Aufgabe der Verdoppelung des Würfels durch Schnitt zweier Kegelschnitte [93].
Mathematiker und Astronom. Zur Lebenszeit: Ptolemaios berichtet von zwei astronomischen Beobachtungen, die M. im ersten Jahr Trajans (98 n. Chr.) in Rom gemacht hat [Alm. VII, Kap. 3. Alm. d., Bd. 2, S. 26 und 28]. Drei Bücher Sphaerica (Kugelgeometrie, sphärische Trigonometrie) sind arabisch erhalten, andere Schriften verloren.
A.Björnbo: Studien über Menelaos’ Sphärik. Abhandlungen zur Gesch. d. math. Wissenschaften, Heft 14, 1902.
Krause, M.: Die Sphärik von Menelaos aus Alexandrien in der Verbesserung von Abü Nasr Mansur b. ‘Ali b.’Iräq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern. Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Phil.- Hist. Klasse, 3. Ser., Nr. 17, 1936.
Heath, Gr. M. Bd. 2, S. 260–273.
Wahrscheinlich Gerasa östl. des Jordans). Um 100 n.Chr. Seine Arithmetik enthält pythagoreisches Gedankengut. Sie wurde von Apuleius (123 - nach 170 n.Chr.) und von Boetius ins Lateinische übersetzt und wurde dadurch zur Grundlage des mittelalterlichen Universitätsunterichts in Arithmetik.
Ar.: Nicomachi Geraseni Pythagorei introductionis arithmeticae libri II. Ed. R. Hoche, Leipzig: Teubner 1866.
Ar. e.: Nicomachus, Introduction to Arithmetic, translated by M. L. d’Ooge. New York: Macmillan 1926. Nachdruck New York: Johnson Reprint Corporation 1972 [81, 182].
Harm.: Encheiridion Harmonices. (Handbuch der Harmonielehre.)
Theol. Ar.: Theologumena arithmeticae, ed. F. Ast. Leipzig 1817. Dieses Werk wird heute Iamblichos zugeschrieben, enthält aber Material von Nikomachos.
Um 440 v. Chr. Nach Proklos [K. Eukl., Math. Verz.] war er „wenig jünger als Anaxagoras“.
Proklos nennt ihn bei den Aufgaben, auf eine Gerade ein Lot zu fällen [zu Prop. 12], hier [89], und an eine Strecke einen Winkel anzutragen [Prop. 23]. Nach Eudemos, zitiert von Theon von Smyrna [Diels 41; 7] soll er die Schiefe der Ekliptik „gefunden“ haben [148]. O. gab das „Große Jahr“(bestimmt durch volle Umläufe von Sonne und Mond) zu 59 Jahren an [Diels 41; 9].
Frajese, A.: II cerchio nelle geometría di Enopide di Chio. Archimede, 1967, fasc. 6, ed. Le Monnier, Firenze, S. 285–294.
Aus Epidaurus. Schriftstellerin z. Z. des Kaisers Nero. Diogenes Laertius nennt sie für den Satz des Thaies [75].
Zur Lebenszeit: Im Kommentar zum Almagest berechnet P. eine Finsternis des
Jahres 320 n.Chr.
Coll.: Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt ed. F. Hultsch. Griech. u. lat. 3 Bde. Berlin 1875–1878. Nachdruck Amsterdam: Hakkert 1965. Buch I ist verloren, II teilweise, III-VIII vollständig erhalten. P. berichtet über ältere Ergebnisse, bringt Hilfssätze zum besseren Verständnis und eigene Ergänzungen.
Coll. f.: Pappus d’Alexandrie. La collection mathématique. Franz. Übers, und Komm, von P. ver Eecke. 2 Bde. Paris, Brügge 1933.
Coll, d.: Die Sammlung des Pappus von Alexandrien. (Buch VII und VIII ). Griech. Und deutsch hrsg. von C. J. Gerhardt. Halle 1871.
K. Alm.: Kommentar zu Ptolemaios’ Almagest. Ed. A. Rome. Rom 1931.
K. El. X.: Kommentar zu Euklid, Elemente X.
W): arab. von al-Dimisql, ed. F. Woepcke, Paris 1855,
S): deutsch von H. Suter, Abh. zur Gesch. der Naturwiss., Heft 4, S. 9–78, Erlangen 1922.
TH): arabisch und englisch von William Thomson, mit Erläuterungen von G. Junge und W. Thomson. Cambridge: Harvard Univ. Press 1930.
Quadratrix [91], Neusis [92], Spirale [121], Geschichte der Kegelschnitte [130], Konstruktion des geom. und harm. Mittels [137], Invarianz des Doppelverhältnisses [139], Satz von Pappos-Pascal [140].
Ca. 515–445 v.Chr. Zur Lebenszeit: Piaton erzählt [Parmenides 127a-c], P. sei im Alter von etwa 65 Jahren beim Panathenäenfest in Athen gewesen, gemeinsam mit Zenon, der damals ungefähr 40 Jahre alt war; Sokrates sei damals noch sehr jung gewesen.
P. lehrte, „daß es das Nichtseiende auf keine Weise geben kann und daß es daher weder ein Werden noch ein Vergehen noch überhaupt eine Bewegung geben kann.… Die philosophischen Systeme der Folgezeit… sind alle Versuche, das durch die Argumente des P. gestellte Problem der Möglichkeit der Vielheit, des Werdens und Vergehens, sowie der Bewegung, zu lösen“[K. von Fritz im LAW] [86, 158, 162]. - Einheit [82].
Pythagoreer, lebte später in Tarent. Nach Diog. L. VIII, 84 hat Piaton Bücher über die pythagoreische Lehre von ihm gekauft; das müßte 388 v.Chr. gewesen sein. Wenn P. einer der beiden jungen Männer war, die sich aus dem Brandanschlag 445 retten konnten (s. Pythagoreer), so könnte er etwa 465/460–385 v. Chr. gelebt haben.
P. setzte das Feuer (als das vornehmste Element) in den Mittelpunkt der Welt; die Erde sowie eine Gegenerde und die Planeten (einschl. Sonne und Mond) kreisen um dieses Zentralfeuer. [Diels 44 A 16, 17, 21], [150].
Geb. wahrscheinlich in Alexandria am Ende des 5. Jh. n.Chr. Schüler des Ammonios Hermeiou. Seine Aristoteleskommentare sind „weiter ausgebaute und mit eigenen Zusätzen und Exkursen versehene Skripten, die er nach den Vorlesungen des Ammonios angefertigt hatte“[Böhm, S. 28] [95]. Besonders gegenüber den physikalischen Vorstellungen von Aristoteles ist P. sehr kritisch und selbständig. - [160]. - P. war Christ. - Sein Kommentar zur Meteorologie des Aristoteles ist nach 529 verfaßt.
Böhm, Walter: Johannes Philoponos. Ausgewählte Schriften. Übersetzt, eingeleitet und kommentiert. München, Paderborn, Wien: Schöningh Verlag 1967.
Geb. 427 v. Chr. in Athen; hatte etwa seit etwa 407 Umgang mit Sokrates. Nach dessen Verurteilung soll P. sich zu dem Philosophen Euklid, der auch Schüler von Sokrates war, nach Megara begeben haben. Bezeugt sind Reisen nach Unteritalien und Sizilien 388/387, nach Syrakus 367–365 und 361–360. P. starb in Athen 348/347. P. hat wahrscheinlich zwischen 387 und 367 die Akademie gegründet; sie wurde 529 vom Kaiser Justinian aufgelöst.
Op.: Platonis Opera, ed. J. Burnet, 5 Bde. Oxford 1900–1907. Mehrfach nachgedruckt. Zitiert werden, wie es allgemein üblich ist, die Seiten und Abschnitte der Ausgabe von Henricus Stephanus, Paris 1578, die in den meisten neueren Ausgaben angegeben sind. [70], - P. über Thaies [72], Tadel mechanischer Würfel Verdoppelung [89], Gerade und Kreis als Grundformen [88, 109], Verdoppelung des Quadrats [91], Inkommensurabilität [100], Momente der Erkenntnis [104], Definitionen allgemein [105], Kreis [104], Grenze [107], Einheit [109], Gerade [109], Kreisbewegung der Sterne [150], Elemente = regelmäßige Körper [159].
C. Plinius Secundus der Ältere (gegenüber seinem Neffen und Adoptivsohn gleichen Namens). Geb. 23/24 n.Chr. in Novum Comum (Como am Corner See), kam früh nach Rom, diente 47-52 als Offizier in Germanien, kehrte 52 nach Rom zurück, war wahrscheinlich Anwalt, trieb rhetorische und grammatische Studien, setzte später seine militärische Laufbahn fort. „Sein letzter Posten war das Kommando über die kaiserliche Flotte in Misenum. Dort fand er beim Ausbruch des Vesuvs am 25. August 79 den Tod, als ihn wissenschaftliche Interessen und das Verlangen, in der allgemeinen Verwirrung hilfreich einzugreifen, in die Nähe des Vulkans trieben. Als Todesursache ist Herzschlag infolge Herzverkalkung anzunehmen, da der starke Asthmatiker den Anstrengungen und Aufregungen in Zusammenhang mit der Katastrophe physisch nicht gewachsen war“. [Winkler in Nat. Hist. Bd. 1, S. 322–325]. Sein Werk Nat. Hist. war eine der wichtigsten Quellen für die Naturwissenschaft des Mittelalters. P. schreibt in der Praefatio [I, 17]: „Zwanzigtausend der Behandlung werte Gegenstände… habe ich aus der Lektüre von ungefähr 2 000 Büchern… zusammengefaßt“. - [166].
Nat. Hist.: C. Plinii Secundi Naturalis Historiae libri XXXVII C. Plinius Secundus d. Ä. Naturkunde. Lat. deutsch, hrsg. und übers, von Roderich König in Zusammenarbeit mit Gerhard Winkler. Heimeran Verlag, seit 1973.
Geb. 45/50 n. Chr. in Chaironeia (Böotien), studierte in Athen, schloß sich der Akademie an, machte Reisen, wahrscheinlich nach Sardes und Alexandria, sicher nach Italien und Rom, kehrte schließlich nach Chaironeia zurück, starb dort bald nach 120 n.Chr.
B. p.: Bioi paralleloi. 24 Biographienpaare von je einem Griechen und Römer. - Griech. Mit engl. Übersetzung von B. Perrin in Loeb Classical Library. 6 Bde. London 1914–1918.
B. p. d.: Plutarch: Große Griechen und Römer. Eingel. und übers, von Konrat Ziegler. Zürich, Stuttgart: Artemis-Verlag. In Bd. 3,1955 steht die Biographie von Marcellus mit einem Bericht über Archimedes.
L.: De facie in orbe lunae. - Benutzte deutsche Übersetzung: Plutarch, Das Mondgesicht, übers, und erläutert von Herwig Görgemanns. Zürich: Artemis-Verlag 1968. ( Reihe: Lebendige Antike).
M.: Moralia. (Sammlung von etwa 80 Schriften).
Geb. 233 n.Chr. in Batanea (Palästina) oder Tyrus, kam 264 nach Rom und blieb dort bis zu seinem Tod ca. 304 n. Chr. P. schrieb Kommentare zu Plotin, zu Ptolemaios’ Musik, eine Einführung zu Aristoteles’ Kategorien; diese wurde durch die lat. Übersetzung von Boetius für das Mittelalter eine wichtige Einführung in die Logik (Baum des Porphyrios [106]). Ferner schrieb P. Biographien von Plotin und Pythagoras. - Einer seiner Schüler war Iamblichos.
Geb. ca. 135 v.Chr. in Apameia am Orontes (Syrien). Stoiker. Studierte in Athen, ließ sich in Rhodos nieder, machte Reisen nach Spanien, Südgallien, Italien, Sizilien und mehrmals nach Rom. Cicero, Pompeius und andere Römer haben ihn in Rhodos besucht. Einer seiner Schüler war Geminos. P. starb wahrscheinlich auf einer Reise nach Rom 51 v.Chr.
Nach Proklos [K. Eukl., zu Def. 35] definierte er parallele Geraden als Geraden gleichen Abstands [204].
Geb. 410/411 n.Chr. in Byzanz, aufgewachsen in Xanthos (Lykien), studierte in Alexandria und Athen, wurde Haupt der Platonischen Akademie. Einer seiner Schüler war Ammonios. P. starb am 17. 4. 485.
Er schrieb Kommentare zu Hesiod, Piaton, Aristoteles, zum I. Buch von Euklids Elementen und zum Tetrabiblos, dem astrologischen Werk von Ptolemaios.
Sein Euklid-Kommentar enthält viele historische Nachrichten, gestützt insbesondere auf die Werke von Eudemos und Geminos. Er wurde zuerst gedruckt in der griechischen Euklid-Ausgabe von Grynaeus, Basel 1533, in lateinischer Übersetzung von Barocius, Padua 1560, und in der Euklid-Ausgabe von Commandino, Pesaro 1572.
K. Eukl.: Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum Commentarii. Ed. G. Friedlein. Leipzig: Teubner 1873.
Ich zitiere nach dieser heute maßgebenden Ausgabe, für die Textwiedergabe benutze ich die deutsche Übersetzung.
K. Eukl. d.: Proclus Diadochus, Kommentar zum ersten Buch von Euklids „Elementen“. Übersetzt von P. L. Schönberger, O. S. B., eingeleitet und hrsg. von M. Steck. Halle 1945.
Friedlein: 1 100 150 200 250 300 350 400
deutsch: 163 235 271 307 341 375 408 445
K. Eukl. e.: Proklos: A Commentary of the First Book of Euclid’s Elements, translated with Introduction and Notes by G. R. Morrow. Princeton: University Press 1970.
K. Eukl. f.: Proclus de Lycie. Les commentaires sur le premier livre des éléments d’Euclide. Ed. P. ver Eecke. Brügge 1948. [70] - Über Thaies [76], über den Satz des Pythagoras [80], Definition des Punktes [82], Oinopides [89], zur Kreisquadratur [95], Zwischenwertsatz [96], Spirale zur Winkeldreiteilung [121], Flächenanlegung [88], Fünfzehneck [148], zum Parallelenpostulat [206].
Das sog. Mathematikerverzeichnis [K. Eukl. S. 64–69] sei hier in der Übersetzung von P. Schönberger wiedergegeben [K. Eukl. d., S. 210–214]. Ob und wie weit es auf Eudemos zurückgeht, ist nicht sicher. Jedenfalls konnte Eudemos nicht über Euklid, Eratosthenes und Archimedes berichten. Für die Nachrichten über Pythagoras kommt auch Iamblichos als Quelle in Frage.
Geb. etwa 480 v. Chr. in Abdera.
P. war der Begründer des sophistischen Lebensstils: er machte Vortragsreisen, hielt Lehrkurse gegen Honorar, auch in Athen, oft als Gast reicher bildungsbeflissener Häuser. Er soll auf einer Fahrt nach Sizilien bei einem Schiffbruch umgekommen sein, 411 v.Chr. - [103].
Platon Theaitetos 152a: „Aller Dinge Maß ist der Mensch, der seienden, daß (wie) sie sind, der nichtseienden, daß (wie) sie nicht sind.“Diog. L. IX, 51: „Er sagte als Erster, über jede Sache gebe es zwei einander entgegengesetzte Aussagen“(λόγονς
Ansichten, Überlegungen; jedes Ding kann von zwei Seiten betrachtet werden)).
Aristoteles Metaph. II, 2, 997b 35–998a 4: „Die sichtbaren Linien sind gar nicht so wie der Geometer sagt; weder ist etwas so (d.h. im Sinne des Geometers) gerade, noch so gekrümmt; der Kreis berührt die Gerade nicht in einem Punkte, sondern so wie Protagoras zeigte…“
Ca. 100–170 n.Chr., lebte in Alexandria. Im Almagest finden sich Beobachtungen aus den Jahren 127–141; das ist der einzige sichere Anhaltspunkt für seine Lebenszeit. Der Almagest ist das älteste der größeren Werke des P.; in den anderen Werken wird auf ihn Bezug genommen.
Ptolemaios, Klaudios. Op.: Claudii Ptolemaei Opera quae exstant omnia. Leipzig. Bd. 1. Syntaxis mathematica. Ed. J. L. Heiberg. 2 Teile 1898, 1903. Griech. Titel: Mαϑηματική σύvταξις später Mεγάλη σ. oder Mεγίστη σ., arabisch: al-migisti (al-Haggäg [197]); daraus wurde „Almagest“. Bd. 2. Opera astronomica minora. Ed. J. L. Heiberg. 1907.
Bd. 3,1. Apotelesmatika. (Astrologische Einflüsse). Ed. F. Boll und A. Boer. 1957. - Das aus vier Büchern bestehende Werk wird oft „Tetrabiblos“genannt. Bd. 3,2.Περί ίριτηρίου καί ήγεμονικοṽ. Ed. F. Lammert. 1952.
Ptolemaios, Klaudios. Alm.: Almagest = Op. Bd. 1.
Ptolemaios, Klaudios. Alm. d.: Ptolemäus. Handbuch der Astronomie. Deutsch von K. Manitius. 1911. 2. Aufl. Mit Berichtigungen von O. Neugebauer. Leipzig: Teubner 1963.
Ptolemaios, Klaudios. Alm. f.: Composition Mathématique de Claude Ptolémée. Frz. von M. Halma. Paris. Bd. 1: 1813, Bd. 2: 1816.
Ptolemaios, Klaudios. H. pl.: Hypotheses planetariae. Griech. und deutsch in Op. Bd. 2. („In der vorliegenden Schrift ist es unser Ziel, nur das Allgemeine dieser (im Almagest) erwähnten Dinge niederzulegen, damit sie sich unserem Geiste und dem Geiste derer, die dafür Instrumente bauen, leicht vorstellen lassen…“)
Ptolemaios, Klaudios. An.: Analemma. In Op. Bd. 2. (Erklärung eines Verfahrens zur Bestimmung der Winkel bei der Sonnenuhr.)
Ptolemaios, Klaudios. Pl.: Planisphaerium. In Op. Bd. 2. (Projektion der Himmelskugel vom Himmelssüdpol auf die Äquatorebene.)
Ptolemaios, Klaudios. Tb.: Tetrabiblos = Op. Bd. 3, 1.
Ptolemaios, Klaudios. Tb. e.: Text mit engl. Übersetzung in Loeb Classical Library.
Ptolemaios, Klaudios. Geogr.: Claudii Ptolemaei Geographica. Ed. C. F. A. Nobbe. 2 Bde. Leipzig 1843–1845. Nachdruck in 1 Bd. Hildesheim 1966.
Optik: L’Optique de Claude Ptolémée dans la version latine d’après l’arabe de l’émir Eugène de Sicile. Ed. A. Lejeune. (Université de Louvain, Recueil de travaux d’histoire et de philologie, 4° Série, Fasc. 8) Louvain 1956.
Harmonica: I. Dühring: Die Harmonielehre des Klaudios Ptolemaios. Göteborgs högskolas arskrift 36, no. 1, 1930.
Gründe für das Stillstehen der Erde [151]. Theorie der Planetenbewegung [152]. Satz vom Viereck im Kreis, trigonometrische Sätze [55].
Burkert, W.; von Fritz, K., Ink.; van der Waerden, B. L., Pyth., Pyth. Wiss.
Allgemeines [80]. Winkelsumme im Dreieck [90]. Flächenanlegung [87], Arithmetische Bücher
Euklids [141]. Kugelgestalt der Erde [148]. Zentralfeuer (s. Philolaos) [150].
Historische Kommentare. Davon sind nur Fragmente erhalten. Geogr.: Geographica. 17 Bücher. Ed. G. Kramer. Berlin 1844. ( Darin wird die Weltkarte des Eratosthenes zugrundegelegt und beschrieben. )
Geogr. d.: Strabo’s Erdbeschreibung, übers, von A. Forbiger. Berlin und Stuttgart 1855–1903.
Ca. 624–548/545 v. Chr. Leben und Leistungen [72–79, 90]. Die Erde schwimmt auf dem Wasser [147].
K. von Fritz: Ink. - W. R. Knorr. - A. Szabo: Anf., S. 79ff.
Ca. 317–388 n.Chr. Geb. in Paphlagonien, wirkte in Konstantinopel als Philosoph und Redner; schrieb Paraphrasen zu Werken des Aristoteles. - [95].
Sph.: Heiberg, J. L.: Theodosius Tripolites Sphaerica. Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Phil.-Hist. Klasse, N. S. 19, Nr. 3, 1927. ( Kugelgeometrie mit Anwendung auf die Astronomie. Erweiterung der Sphärik des Auto- lykos und der Phainomena von Euklid. )
Sph. d.: Die Sphärik des Theodosios. Übers, von E. Nizze. Stralsund 1826.
Lit.: Heath: Gr. M. Bd. 2, S. 245–252.
Hälfte des 4. Jh. n. Chr. Vater der Hypatia.
M. PL: Theonis Smyrnaei expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium. Ed. E. Hiller, Leipzig 1878.
Eine Einführung in die Mathematik für Studenten der Philosophie. Von den 5 Teilen (1) Arithmetik, (2) ebene Geometrie, (3) Stereometrie, (4) Astronomie, (5) Musik sind (1) und (4), sowie Teile von (5) erhalten. (1) enthält interessante zahlentheoretische Sätze, in (4) wird das Weltbild des Herakleides vertreten.)
Op.: Theophrasti Eresii quae supersunt omnia. Ed. F. Wimmer, Leipzig.
Vol. I. Historia plantarum. 1854.
Vol. II. De causis plantarum. 1854.
Vol. III. U. a. de lapidibus… 1862.
Benutzte Ausgabe: Arch.: Vitruv. Zehn Bücher über Architektur. Lat. u. deutsch. Übers, von Curt Fensterbusch. Darmstadt: Wiss. Buchges. 1964.
Mem.: Memorabilien. Erinnerungen an Sokrates. Deutsch in: Xenophon. Die Somatischen Schriften, übers, von E. Bux. Stuttgart: Kröner Verlag 1956.
Theon von Alexandria, Kommentar zum Almagest I, Kap. 3.
Pappos, Coll. V., und Ed. Hultsch, Bd. 3, S. 1189–1211.
Deutsche Übersetzung in Müller, Wilhelm: Das isoperimetrische Problem im Altertum. Sudhoffs Archiv 37, 1953, S. 39–71.
Lit.: Schmidt, Wilhelm: Zur Geschichte der Isoperimetrie im Altertum. Bibl. Math. (3), 2, 1901, S. 5–8.
Geb. etwa 490 v. Chr. Z. war im Alter von 40 Jahren mit seinem Lehrer Parmenides in Athen, als Sokrates noch sehr jung war [Piaton, Parmenides 127].
Die berühmten vier Beweise Zenons gegen die Bewegung stehen in Aristoteles’ Physik VI, 9, 239b 5–240a 13. [86].
Mathematik im Orient
Juschkewitsch, A. P.: Geschichte der Mathematik im Mittelalter. Russisches Original: Moskau 1961. Deutsche Übersetzung von V. Ziegler, Leipzig. Basel: Pfalz-Verlag 1964.
Kogelschatz, H.: Bibliographische Daten zum frühen mathematischen Schrifttum Chinas im Umfeld der „Zehn mathematischen Klassiker“(1. Jh. v.Chr. bis 7. Jh. n.Chr.). - Veröffent-lichungen des Forschungsinstituts des Deutschen Museums für die Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik. Reihe B. München 1981. ( Dieser Arbeit sind die meisten einschlägigen Daten entnommen. )
Mikami, Yoshio: The Development of Mathematics in China and Japan. Abh. zur Gesch. d. Math. 30, Leipzig 1913.
Needham, J.: Science and Civilisation in China. - With the Collaboration of Wang Ling. - Bd. 3. Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. - Cambridge University Press 1959.
Libbrecht, U.: Chinese Mathematics in the Thirteenth Century. The Shu-shu chiu-chang of Ch’in Chiu-shao. - Cambridge, Mass., London 1973.
Darin: V. The Chinese Remainder Theorem: A Monograph. (S. 213–413).
Suan-ching shih shu. Die „Zehn mathematischen Klassiker“. Erstmals während der TANG-Dynastie (656) unter diesem Obertitel zusammengefaßt: in der Bearbeitung von LI Ch’un-feng und seinem Stab, als Lehrbuchsammlung für das neugegründete Mathematische Institut an der Staatsakademie; zugleich als Prüfungsgrundlage für den entsprechenden Zweig im staatlichen Examenssystem. - Drei Druckausgaben: 1084, 1213, 1774. (Kogelschatz, S. 31).
Forke, A.: Mê Ti, des Sozialethikers und seiner Schüler philosophische Werke, übers, (deutsch) und erl. von A. Forke. - Mitteilungen des Seminars für Orientalische Sprachen an der Friedrich-Wilhelm-Universität zu Berlin. Beiband zum Jahrgang 23/25. Berlin 1922.
Graham, A. C.: Later Mohist Logic, Ethics and Science. - Hongkong, London 1978.
Chiu-chang suan-shu. Neun Bücher arithmetischer Technik. - Deutsch mit Erläuterungen von K. Vogel. Braunschweig: Vieweg 1968. (Ostwalds Klassiker, Neue Folge Bd. 4.) [173].
Gillon, B. S.: Introduction, Translation and Discussion of Chao Chun-Ch’ing’s „Notes to the Diagrams of Short Legs and Long Legs and of Squares and Circles“. - Hist. Math. 4, 1977, S. 253–293. [179].
van Hee, P. L.: Le classique de L’île maritime, ouvrage chinois du Ille siècle. - Qu. u. St. B 2, 1933, S. 255–280.
Enthält: LIU Hui, Hai-tao suan-ching = mathematisches Handbuch von der Insel im Meer (frz.) [180] und als Einleitung: Tableau général des mathématiciens chinois.)
Wagner, D. B., Sph.: Liu Hui and Tsu Keng-chih on the Volume of a Sphere. Chinese Science Vol. III, March 1978. Philadelphia, Pennsylvania, S. 59–79. [174].
Wagner, D. B., Pyr.: An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid: Liu Hui, Third Century A. D. - Hist. Math. 6, 1979, S. 164–188. [176].
Chang Heng, 78–139 n.Chr. Dichter, Mathematiker und Astronom. - Berechnung des Kugelvolumens [174].
Hsü Yüeh, um 200 n.Chr. Verfasser eines verloren gegangenen Kommentars zu den „Neun Büchern“, angeblicher Verfasser des Shu-shu chi-i. (Darin: Die Aufgabe der 100 Vögel [181]).
Chao Chün-ch’ing, 3. Jh. n. Chr. Verfasser des ältesten Kommentars zum Chou-pei suan-ching (nach 222). - Zum Satz des Pythagoras s. o. Gillon und [179].
Liu Hui, 3. Jh. n. Chr. Kommentar zu den „Neun Büchern“[173]. Ergänzung dazu: Neun Vermessungsaufgaben (Hai-tao suan-ching) [180].
Sun Tzu, Ende des 4. Jh. Sun-tzu suan-ching: Meister Sun’s Arithmetisches Handbuch. (Darin: Das chinesische Rest-problem [182]).
Chang Ch’iu-chien suan-ching: Mathematisches Handbuch von Chang Ch’iu-chien (zwischen 466 und 485). - Aufgabe der 100 Vögel [181].
Tsu Keng-chih, um 504–520. Kugelvolumen [174].
Chen Luan, um 566 Schöpfer des 566 eingeführten T’ien-ho-Kalenders. - Kommentator, vielleicht Verfasser des Shu-shu chi-i. [181].
Li Ch’un-feng, 607–670 Verantwortlich für die Zusammenstellung der „Zehn mathematischen Klassiker“(656) als Lehrbuchsammlung für das neugegründete Mathematische Institut an der Staatsakademie [173].
4.3.2 Indische Mathematik
Sen: Bose, D. M.; S. N. Sen; B. V. Subbarayappa: A Concise History of Science in India. Indian National Science Academy, New Delhi 1971. (Die Abschnitte 1. A Survey of Source Materials, 2. Astronomy, 3. Mathematics sind von Sen verfaßt.)
Datta, B.: Geometry in the Jaina Cosmography. Qu. u. St. B 1, 1931, S. 245–254.
Datta, B. and A. N. Singh: History of Hindu Mathematics. A Source Book. Lahore 1935–1938. 2. Aufl. Bombay, Asia Publishing House. 1962.
Colebrooke, H. Th.: Algebra with Arithmetic and Mensuration from the Sanskrit of Brahmagupta and Bhäskara. London 1817. Neudruck Walluf bei Wiesbaden: Sändig 1973. Enthält eine ausführliche Einleitung und die englische Übersetzung von Bhäskara II: Lilävati und Bijaganita Brahmagupta: Kap. 12. Ganitädhyäya (Arithmetik) Kap. 18. Kuttakädhyäya (Algebra).
Nau, M. F.: Notes d’astronomie Syrienne. Journal asiatique (10), 16, 1910, S. 209–228.
Darin: III. La plus ancienne mention Orientale des chiffres indiens. S. 225–227. Weitere Literaturangaben in K. Elfering: Die Mathematik des Äryabhata I. München 1975.
Äryabhata I, geb. 476, lebte vielleicht in Pätaliputra, vielleicht in Südindien. Schrieb 498/499: Äryabhatiya [185 ff.].
Englische Übersetzung: Clark, W. E.: The Äryabhatiya of Äryabhata. Chicago 1930.
Elfering, K.: Die Mathematik des Äryabhata I. München: Wilhelm Fink Verlag 1975.
Brahmagupta, 598 - nach 665, wirkte als Lehrer in Billamäla (heute Bhinmal bei Mt. Abu in Rajastan), damals Hauptstadt der Gurjaras.
Schrieb im Alter von 30 Jahren: Brähmasputasiddhänta [189ff.]. Englische Übersetzung der mathematischen Teile bei Colebrooke.
Mahävira, wirkte in Mysore, schrieb um 850 Ganita-särasamgraha [192].
Prthudakasvämin, schrieb ca. 864 einen Kommentar zu Brahmagupta. Pätiganita, und ein kürzeres: Trisatikä [192]. Ein weiteres über Algebra ist bei Bhäskara II er-wähnt.
Englische Übersetzung: The Trisatikä of Sridharäcärya by N. Ramanujacharia and G. R. Kaye. Bibl. Math. (3), 13, 1912, S. 203–217.
Äryabhata II, zwischen 950 und 1100, schrieb einen Kommentar zu Äryabhata I.
al-Birüni, geb. 973 in Kath (Choresmien), gest. 1051 (?) in Ghazna; war bei den Eroberungszügen des Sultans Mahmüd von Gazna (1001–1026) in dessen Gefolge in Indien und schrieb ein großes Werk darüber [192]: Alberuni’s India. An account of the religion, philosophy, literature, geography, chronology, astronomy, customs, laws and astrology of India about A. D. 1030. Ed. E. C. Sachau, London 1887. Nachdrucke: London 1910, New Delhi 1964.
Sripati, wirkte etwa 1039–1056 in Rohinikhanda, Mahärästra; schrieb über Astronomie, Astrologie und Mathematik, u. a. Ganitatilaka, offenbar unter Benutzung der Werke von Sridhara [192].
Bhäskara II, geb. 1114 in Bijapur (Karnata), schrieb 1150 Siddhäntasiromani. Die mathematischen Teile, Lilävati und Bijaganita wurden von Colebrooke ins Englische übersetzt. Satz des Pythagoras [34], [194].
Das Bakhshäli-Manuskript, ein auf Birkenrinde geschriebenes Rechenbuch, wurde 1881 in der Nähe des Dorfes Bakhshäli bei Peschawar in Nordwestindien gefunden. Es wird datiert von Kaye: wahrscheinlich 12.Jh. n.Chr. von Datta/Singh: ca. 200 n.Chr. von Sen: 3./4.Jh. n.Chr.
Da es das vollständige indische Zahlensystem enthält, fällt es mir schwer zu glauben, daß es vor Äryabhata entstanden sein könnte, der ein viel komplizierteres System der Zahlendarstellung entwickelt hat. Edition des Bakhshäli-Manuskripts: G. R. Kaye, Kalkutta 1927.
4.3.3 Mathematik in den Ländern des Islam
Brockelmann, C.: Geschichte der arabischen Literatur. Weimar 1897.
Suter, H.: F.: Das Mathematiker-Verzeichnis im Fihrist des ihn Abi Ja’ub an-Nadim. Abh. z. Gesch. d. Math. 6, 1. Leipzig 1892.
M. u. A.: Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke. Abh. z. Gesch. d. Math. 10, Leipzig 1900.
Nachträge und Berichtigungen. A. a. O. 14, Leipzig 1902. Sezgin, F.: Geschichte des arabischen Schrifttums. Bd. 5. Mathematik bis ca. 430 H. (=1052 n.Chr.) Leiden 1974.
L. arab. W.: Lexikon der arabischen Welt. Ed. Stephan und Nandy Ronart. Zürich und Mün-chen: Artemis Verlag 1972.
Arnold, Th. und Alfred Guillaume: The Legacy of Islam. Oxford Univ. Press 1931. Nachdruck 1960.
Nasr, Seyyed Hossein: Science and Civilisation in Islam. Cambridge (Mass.): Harvard Univ. Press 1968.
O’Leary, De Lacy: Arabic Thought and its Place in History. London 1922. 2. Aufl. 1939. Nachdruck 1954.
Hunke, Sigrid: Allahs Sonne über dem Abendland. Fischer-Bücherei 1965. ( Ein lebendig geschriebenes populäres Werk )
Sabra, A. I. T.: Thäbit ibn Qurra on Euclid’s Parallels Postulate. Journal of the Warburg and Courtauld Institutes 31, London 1968, S. 12–32.
Sim.: Simplicius’s Proof of Euclid’s Parallels Postulate. A.a.O. 32, 1969, S. 1–19.
al-Fazäri Ibrähim ibn Habib, gest. ca. 777. Astronom in Bagdad, soll als Erster Astrolabe konstruiert haben. [197]
Muhammad ibn Ibrähim al-Fazäri Sohn des Vorigen, gest. 796/806. Übersetzte auf Veranlassung von al-Mansür einen Siddhänta (den Brähmasphuta-Siddhänta des Brahmagupta ?) 772/3 [196].
Gabir ibn Haiyan, wirkte um 776 in Küfä, im Mittelalter als Alchemist Geber bekannt.
al-Hağğäğ (8./9.Jh.) al-Haggäg ibn Yüsuf ibn Matar. Übersetzte Euklids Elemente einmal z. Z. von Härün al-Rashld und einmal zur Zeit von al-Mamün, ferner 829/830 den Almagest, aus dem Syrischen [197].
al-Hwärizmi Abü Abdalläh Mohammed ibn Müsä al-Hwärizmi
geb. ca. 780 in Hwärizm, heute Khiva südl. des Aralsees, wirkte unter al- Ma’mün in Bagdad, starb ca. 850.
N. Ind.: De numéro Indorum. Nur lateinisch erhalten. - [197]. Algoritmi de numéro Indorum. Ed. B. Boncompagni. Rom 1857.
Mohammed ibn Musa Alchwarizmi’s Algorismus. Nach der einzigen (lateinischen) Handschrift in Faksimile mit Transkription und Komm, herausgeg. von K. Vogel. Aalen: Zeller 1963.
Alg.: Al-kitab al-muhtasar fi hisäb al-gabr wa’l-muqäbala Ein kurzgefaßtes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen. - [197 ff.].
Rosen: The Algebra of Mohammed ben Musa. Arab. mit engl. Übersetzung. Ed. F. Rosen. London 1831.
Libri: Lat. Übers, von Gerhard von Cremona in Libri, Histoire des Sciences Mathématiques en Italie, Bd. 1, Note 12, S. 253–297. Paris 1838.
Karp.: Robert of Chester’s Latin Translation of the Algebra of al-Khowarizmi. Mit engl. Übers., ed. L. Ch. Karpinski, New York 1915.
Lit. dazu: J. Ruska: Zur ältesten arabischen Algebra und Rechenkunst. Heidelberg 1917. (Sitzungsber. d. Heidelb. Akad. d. Wiss., Phil.-hist. Kl. Jg. 1917, Abh. 2)
Das Kapitel Geometrie ist wiedergegeben in S. Gandz: The Mishnat ha Middot. Qu. u. St. A, Bd. 2. 1932.
al-Hwärizmi verfaßte auch astronomische Schriften und Tafeln sowie einen Auszug aus der Geographie des Ptolemaios.
al-Gauhari al-fAbbäs ibn Sa’Id al-Gauhari,
war einer der Astronomen im Dienste von al-Ma’mün, nahm teil an astronomischen Beobachtungen in Bagdad 829–830 und in Damaskus 832-833. Er schrieb einen Kommentar zu Euklids Elementen, mit Zusätzen. Daraus zitiert al-Tüsi sechs Sätze, die das Parallelenpostulat betreffen [208].
al-Fargäni Abü-l-fAbbäs Ahmad ibn Muhammad ibn Katir al-Fargäni, im Abendland bekannt als Alfraganus. Geb. in Fargänä, Transoxanien, gest. in Ägypten nach 861. Astronom im Dienste von al-Ma’mün, beteiligt an einem mißglückten Kanalbau unter al-Mutawakkil. Der Anfang des Kanals lag zu tief, so daß der Kanal nur bei hohem Stand des Tigris genügend Wasser führte. Anscheinend starb der Kalif, bevor der Fehler entdeckt wurde.
al-Kindi Abü Yüsuf Ya’qüb ibn Ishäq ibn al-Sabbäh al-Kindi, geb. in Basra Anf. d. 9. Jh., wirkte in Bagdad unter al-Ma’mün und al-Mutawakkil, starb ca. 873. Philosoph, vielseitiger Gelehrter. Rescher, N.: Al-Kindi. An Annotated Bibliography. Pittsburg 1964. Mathematisch-naturwissenschaftlich bemerkenswert: Al-Kindi’s Epistle on the Finitude of the Universe. Ed. N. Rescher und Haig Khatchadourian. Isis 56, 1965, S. 426–433 (englisch).
Banü Müsä Drei Söhne von Müsä ibn Säkir, der z. Z. von al-Ma’mün starb. Der Älteste, Muhammed, starb etwa 872/3. - [197].
Ahmad beschäftigte sich mit Mechanik, Hasan mit Geometrie. The verba filiorum of the Banü Müsä. Lat. Übersetzung von Gerhard von Cremona mit engl. Übersetzung in M. Clagett: Archimedes in the Middle Ages. Vol. I. The Arabo-Latin Tradition. Madison: The University of Wisconsin Press 1964. (Kap. 4, S. 223-367). H. Suter: Über die Geometrie der Söhne des Müsä ben Schäkir. Bibl. Math. (3), 3, 1902, S. 259 - 272.
Kitäb al hijal: F. Hauser: Über das kitäb al hijal - das Werk über die sinnreichen Anordnungen - der Benü Müsä. Abh. z. Gesch. d. Naturw. u. d. Medizin, Heft 1, Erlangen 1922. ( Spielerische Automaten in der Art von Heron. )
Die Banü Müsä bemühten sich um den Erwerb griechischer Handschriften und veranlaßten oder förderten die Übersetzertätigkeit von Hunain ibn Ishäq, Täbit ibn Qurra u. a.
Hunain ibn Ishäq
Abü Zaid Hunain ibn Ishäq al-’Ibädi (fIbäd ist der Name eines christlichen Araberstammes, der in der Nähe von Hira ansässig war), geb. in HTra 809/810, wirkte in Jundishäpür, dann in Bagdad, starb 873. Nestorianer. Er übersetzte hauptsächlich medizinische Schriften.
Ishäq ibn Hunain
Abu Ya’qüb Ishäq ibn Hunain ibn Ishäq al-’Ibädi Sohn des Vorigen. Geb. 830. Starb in Bagdad 910/911. Übersetzte Aristoteles, Euklid, Ptolemaios, Menelaos, Archimedes, Hypsikles u. a. Einige dieser Übersetzungen wurden von Täbit ibn Qurra überarbeitet, so z. B. die Übersetzung der Elemente Euklids, die für die weitere Überlieferung wichtig wurde [197].
Täbit ibn Qurra Abu-l-Hasan Täbit ibn Qurra ibn Marwän al-Harräni, geb. 826/827 in Harrän (Mesopotamien), wurde von Mohammed ibn Müsä ibn Saklr nach Bagdad eingeladen, Übersetzte Werke von Archimedes, die Kegelschnitte des Apollonios u.a. [3.38], schrieb Kommentare zu Euklids Elementen und zu Ptolemaios’ Almagest und eigene Arbeiten über Mathematik, Astronomie und Physik. Er starb 901.
Zwei Beweise des Parallelenpostulats [210]: Sabra T.
Suter, H.: Über die Ausmessung der Parabel von Thäbit. Sitzungsber. d. physik. mediz. Sozietät Erlangen, 48, 1918, 65–86.
Suter, H.: Die Abhandlungen Thäbits und Abü Sahl al-Kühis über die Ausmessung der Paraboloide. A.a.O. 186–227.
Björnbo, A.: Thäbits Werk über den Transversalensatz. Erlangen 1924.
Weidemann, E.: Die Schrift ütfer den Qarastün. Bibl. Math. (3) 12, 1912, S. 21–39. (Diese Schrift über das Hebelgesetz geht wahrscheinlich auf griechische Quellen zurück. Lateinische Bearbeitungen waren im Mittelalter verbreitet.)
Lat. und engl, in: E. A. Moody and M. Clagett: Medieval Science of Weight. Madison 1952. Teilweise referiert in M. Clagett: The Science of Mechanics in the Middle Ages. Madison: Univ. of Wisconsin Press 1961.
Ahmad ibn Yüsuf Abü Ga’far Ahmad ibn Yüsuf ibn Ibrähim ibn al-Däya al-Misri d. h. der Ägypter. Gest. ca. 912.
Sein Werk „De proportione et proportionalitate“beeinflußte Leonardo von Pisa und Jordanus Nemorarius.
Qustä ibn Lüqä Qustä ibn Lüqä al-Ba’labakki, d. h. aus Baalbek (Syrien), ein Christ griechi¬scher Herkunft; der Name Qustä ist vielleicht eine syrische Abwandlung von Constans oder Constantinus. Er wirkte in Bagdad. Zahlreiche Übersetzungen, u. a. von Diophant und Heron wurden von ihm oder unter seiner Leitung angefertigt [197]. Er schrieb Kommentare zu Euklid und ein Werk über das kugelförmige Astrolab. Er starb ca. 912.
al-Nayrizi Abü al-fAbbas al-Fadl ibn Hätim al-Nayrizi, d. h. aus Nayriz bei Shiraz. Lat.: Anaritius. Gest. ca. 922. Er schrieb außer astronomischen Werken und Tafeln einen Kommentar zu Euklids Elementen [197], der von Gerhard von Cremona ins Lateinische übersetzt wurde. Besonders wichtig ist darin die Besprechung des Parallelenpostulats [206].
Anaritii in decem libros priores Elementorum Euclidis commentarii ex interpretatione Gherardi Cremonensis. Ed. M. Curtze. Leipzig: Teubner 1899.
Abü Kämil Sugä’ ibn Aslam ibn Muhammad ibn Sugä’ Abü Kämil al-Hasib, auch: al- Misri, d. h. aus Ägypten. Lebte ca. 850–930. Seine Algebra wurde von al-Karagi und von Leonardo von Pisa benutzt.
Alg.: Kitäb fi al-gabr wa’l-muqäbala. The Algebra of Abü Kämil. Komm. Mordecai Finci. Hebr. Text u. engl. Übers., ed. M. Levey. Madison 1966. The Algebra of Abu Kamil Shoja’ ben Aslam. Ausz. einer lat. Übers, mit Komm. Ed. L. C. Karpinski. Bibl. Math. (3), 12, 1911/12, S. 40–55.
S.: Das Buch der Seltenheiten der Rechenkunst von Abü Kämil el-Misri. Deutsche Übers, u. Komm., ed. H. Suter. Bibl. Math. (3), 11, 1910/11, S. 100–120. (Darin das Problem der 100 Vögel [181].)
F. u. Z.: Suter, H.: Die Abhandlung über das Fünfeck und das Zehneck. Bibl. Math. (3), 10, 1910, S. 15–42.
al-Färäbl
Abü Nasr Muhammad ibn Muhammad ihn Tarhän ibn Uzlagh al-Färäbi, geb. in Wasïj bei Färäb (Turkestan), studierte in Bagdad, lebte meist in Aleppo, starb in Damaskus 950/1. Neuplatoniker, Enzyklopädist. - Eine seiner Schriften: Ihsa al-’Ulüm. Aufzählung der Wissenschaften.
Sie wurde von Gerhard von Cremona ins Lat. übersetzt. Deutsche Übersetzung der Einleitung und der Beschreibung der mathematischen Wissenschaften
Wiedemann, E.: Über al-Färäbis Aufzählung der Wissenschaften. Sitzungsber. der physik. mediz. Sozietät in Erlangen 39, 1907, S. 74–101.
Abü-l-Wäfä’ Muhammad ibn Muhammad ibn Yahyä Abü-l-Wäfä’ al-Büzagäni, geb. 940 in Büzagän (in Huräsän, jetzt im Iran), arbeitete an dem mathematisch-astrono-mischen Institut in Bagdad, starb 997/8.
Ar.: Kitäb al-Manäzil fimä yahtägu ilaihi 1-kuttäb wa-l-’ummäl min film al-hisäb: Schrift der Stufenfolge über das, was die Schreiber und Sekretäre von der Arithmetik benötigen. Arabisch ediert von Ahmad Sa’ïdân in:’Ilm al-hisäb al-’arabl,’Ammän 1971, S. 64–368. Inhaltsangabe: A. S. Saidan: The Arithmetic of Abü’l-Wafä’. Isis 65, 1974, S. 367–375. Besprochen (russisch) von M. I. Medovoy in Istoriko-matematicheskie issledovanija 11, 1958 (Auftreten negativer Zahlen) und 13, 1960.
Geom.: Kitäb fimä yahtägu ilaihi s-säni’ min a’mäl al-handasa.
Buch über das, was der Handwerker an geometrischen Konstruktionen benötigt. Teile einer wahrscheinlich von einem Schüler verfaßten Bearbeitung in deutscher Übersetzung:
Geom. d.: H. Suter: Das Buch der geometrischen Konstruktionen des Abu’l Wefâ. - Abh. zur Gesch. der Naturw. und der Medizin. Erlangen. Heft 4, 1922, S. 94–109. (Inhalt: Grundkonstruktionen. Konstruktionen regelmäßiger Polygone [200] und ihrer ein- und umbeschriebenen Kreise. Konstruktionen von Figuren in Figuren, z. B.: In ein Quadrat ein gleichseitiges Dreieck einzubeschreiben. Die Konstruktionen werden mit nur einer Zirkelöffnung ausgeführt.)
al-Qühi (Sarton, Int. Bd. 1, S. 665: al-Kühi) Abü Sahl al-Qühi Waigan ibn Rustam, aus Kuh, Tabaristan, war 988 bei einer astronomischen Beobachtung in Bagdad anwesend; schrieb mehrere Arbeiten im Anschluß an die Werke von Euklid und Archimedes, u. a. konstruierte er die Seite des regelmäßigen Siebenecks durch Schnitt einer Parabel und einer Hyperbel (Lösung einer kubischen Gleichung) [200].
Samplonius, Y.: Die Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks nach Abü Sahl al-Qûhï Waigan ibn Rustam. Janus 50, 1963, S. 227–249.
al-Karagï Abü Bakr Muhammad ibn al-Hasan (al-Häsib) al-Karagï (al-häsib = der Rechner). Lebte in Bagdad, starb 1019/29.
al-Käfi fï 1-hisäb. Genügendes über das Rechnen. Deutsch von A. Hochheim. 3 Teile. Halle 1878–1880.
al-Fahri fï (sina’at a)l-gabr wa-l-muqäbala. Algebra, dem Wezir Fahralmulk gewidmet. Woepcke, F.: Extrait du Fakhri. Paris 1853. - [199].
al-Badif fï 1-hisäb. L’algèbre. Al-badif d’al-Karagi. Ed. A. Anbüba. Beirut 1964.
Diese Werke sind eine umfassende gründliche Darstellung der algebraischen Kenntnisse der Araber.
Erst kürzlich wurde ein geologisch-hydrologisches Werk von al-Karagi entdeckt: „Die Erschließung verborgener Gewässer“. Es handelt vom Kreislauf des Wassers, dem Grundwasser und der Trinkbarkeit.
Mehdi Nadji: Karadjis „Erschließung verborgener Gewässer“. Technikgeschichte Bd. 39, 1972, S. 11–23.
Ibn al-Haitam Abü Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haitam al Basri; al-Hasan wurde latinisiert zu Alhazen.
Geb. 965 in Basra, ging nach Ägypten und versprach eine Nilregulierung, sah aber am Ort die Unmöglichkeit ein. Trotzdem erhielt er eine hohe Stellung beim Kalifen al-Häkim (996–1020). Aus Sorge wegen der Unberechenbarkeit des Kalifen täuschte er eine Geisteskrankheit vor und lebte in Hausarrest bis zum Tode des Kalifen. Dann wurde er wieder gesund und lebte in Kairo bis etwa 1041.
Sein Hauptwerk: Kitäb fi’1-Manäzir. Schrift über die optischen Gegenstände. Es lag seit der Mitte des 13. Jh. in einer lateinischen Übersetzung vor. Diese bildete die Grundlage für das Lehrbuch von Witelo, entstanden zwischen 1270 und 1276. Einige weitere Schriften: Kitäb fi Hay’at al-’Alam. Schrift über den Aufbau der Welt. s. Schramm, Ph. S. 63 ff. Fi Daw’ al-Kamar. Über das Licht des Mondes. s. Schramm, Ph. S. 69 ff.
Sharh Musaddarät Uklidis. Kommentar zu den einleitenden Sätzen Euklids. S. Schramm St., S. 3. (Darin Diskussion des Parallelenpostulats [213].) Das Buch der Kommentare zu den Einführungen der „Elemente“Euklids von Hasan ibn al-Haitäm. Übers, (russisch) von B. A. Rosenfeld. Istoriko-matematicheskie issledovanija 11, 1958, 743 ff.
Schramm, M.: Ph.: Ibn al-Haythams Weg zur Physik. Wiesbaden: Steiner 1963.
Schramm, M. St.: Ibn al-Haithams Stellung in der Geschichte der Wissenschaften. - Fikrun Wa Fann Nr. 6, 1965, S. 1–22. (S. 9: „Ibn al-Haytham entwickelt zum ersten Mal systematisch experimentelle Methoden. Nicht daß nicht schon vorher experimentiert worden wäre;… aber als systematisch verwendetes Arbeitsmittel ist das Experiment eine Errungenschaft Ibn al- Haythams.“)
al-Birüni Abü al-Raihän Muhammad ibn Ahmad al-Birüni Geb. 973 in Kath (Choresmien), war bei den Eroberungszügen des Sultans Mahmüd von Gazna (1001–1026) in dessen Gefolge in Indien, kehrte nach dem Tod von Mahmüd nach Gazna zurück, starb dort 1048. Schriften: Chr.: Chronologie der alten Völker. (Geschrieben 1000) Ed. E. Sachau Leipzig 1878. Engl. Übers, von E. Sachau, London 1879. Nachdruck Frankfurt 1969.
Ind.: Alberuni’s India. Ed. E. Sachau. London 1887. Engl. Übers, von E. Sachau. London 1888. Nachdruck Delhi 1964.
Sehn.: Das Buch von der Auffindung der Sehnen im Kreise. Deutsche Übers, von H. Suter. Bibl. Math. (3) 11, 1910, S. 11–78.
Trig.: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abu’l-Raihän Muh. ibn Ahmad al-Birüni. Ed. C. Schoy. Hannover 1927.[203].
L.Ibn Smä
Abü’Ali al-Husain ibn’Abdalläh ibn Sïnâ
Latinisiert: Avicenna, geb. 980 in Afsana bei Buchara, gest. 1037 in Hamadän. Galt in der Scholastik als eine der größten Autoritäten. Er schrieb u. a.: Kitäb al-sifa. Buch der Genesung der Seele. Eine philosophische Enzyklopädie. Qänün fï-1-tibb. Kanon der Medizin.
al-Zarqäli Abu Ishaq Ibrahim ibn Yahya al-Naqqas. Lebte in Cordoba ca. 1029–1087. Astronom. Herausgeber der „Toledanischen Tafeln“(Planetentafeln) und Verfasser der Einleitung, die die Herstellung von trigonometrischen Tafeln beschreibt. Dieses Werk diente als Quelle für den Tractatus de sinibus, chordis et arcubus von Johannes von Gmunden, 1437.
Omar Hayyam Abü al-Fath fUmar ibn Ibrâhïm al-Hayyämi giyät al-DIn „der Zeltmacher“, geb. 1048 (?) in Nishapur, dort gest. 1131.
Als Dichter berühmt durch seine Sonette Rubä’iyät.
Gab für alle Typen kubischer Gleichungen geometrische Lösungen mit Kegelschnitten [202 f.].
Alg. Woepcke: L’algèbre d’Omar Alkhayyämi. Arab. und franz. ed. F. Woepcke, Paris 1851.
Alg. Winter: The algebra of fUmar Khayyam. Engl. Übers, von H. J. J. Winter und W.’Arafat. J. R. Asiatic Soc. Bengal. Science 16,1, 1950, 27–77.
Alg Rashed: L’oeuvre algébrique d’al-Khayyäm, établie, traduite et analysée par Rashdi Rashed et Ahmed Dhebbar. Aleppo 1981.
Versuch eines Beweises des Parallelenpostulats [213]:
Discussion of Difficulties in Euclid. By Omar Ibn Abrahim al-Khayyami (Omar Khayyam). Engl. Übers, von Ali R. Amir-Moez. Scripta Math. 24, 1959, 275–303.
Ibn Rusd (lat. Averroes) Geb. 1126 in Cordoba, wurde wegen seiner philosophischen Anschauungen nach Afrika verbannt, aber 1195 vom Kalifen Jüsuf wieder an seinen Hof in Marrakesch geholt. Er starb in Marrakesch 1198. „Der bedeutendste der arabischen Aristoteliker und der letzte arabische Denker, dessen Werk über die Sprach- und Religionsgrenze hinaus auf die Christenheit eingewirkt hat.“[G. E. von Grunebaum in Propyläen-Weltgeschichte Bd. 5, S. 167].
Näsir al-Dïn al-Tüsi Abü Ga’far Muhammad ibn al-Hasan, Nasir al-Dïn al-Tusï, al-Muhaqqiq, geb. 1201 in Tüs/Huräsän (Persien).
Al-Tüsi war überzeugter Schiit und scharfer Gegner des sunnitischen Kalifats. Seine politische Tätigkeit brachte ihn in Kontakt mit dem Mongolenfürsten Hülägü Hän, dem er bei der Vorbereitung des Zuges gegen Bagdad wertvolle Dienste leistete. Nach der Eroberung der Stadt (1258) belohnte ihn Hülägü mit der Ernennung zu seinem Hofastrologen und stellte ihm überdies reichliche Mittel zur Erbauung einer Sternwarte in Marägha nahe dem Urmia-See im nordwestlichen Persien zur Verfügung. Nach der Eroberung der Stadt (1258) belohnte ihn Hülägü mit der Ernennung zu seinem Hofastrologen und stellte ihm überdies reichliche Mittel zur Erbauung einer Sternwarte in Marägha nahe dem Urmia-See im nordwestlichen Persien zur Verfügung.“[L. arab. W.] al-Tüsi starb 1274.
Seine Hauptleistungen liegen auf dem Gebiet der Astronomie und Trigonometrie.
Seinen Beweis des Parallelenpostulats (auf Grund eines anderen geeigneten Postulats) hat Edward Pocock auf Veranlassung von Wallis ins Lateinische übersetzt; diese Übersetzung ist in Wallis, Opera Bd. 2, S. 669–673 wiedergegeben. al-Tüsi wird auch von Saccheri (1733) zitiert.-[213].
al-Käsi Gamsid ibn Mas’üd ibn Mahmüd al-Käsi Geb. in Kasän, arbeitete an der von Ulug Beg errichteten Sternwarte in Samarkand, war Mitarbeiter der nach Ulug Beg benannten Tafeln. al-Käsi starb 1429 in Samarkand.
Miftah al-hisäb. Schlüssel des Rechnens. Verfaßt 1427.
P. Luckey: Die Rechenkunst bei Gamsid b. Mas’üd al-Käsi mit Rückblicken auf die ältere Geschichte des Rechnens. Abhandlungen für die Kunde des Morgenlandes 31,1, Wiesbaden: Steiner 1951.
Eine zergliedernde und vergleichende Berichterstattung über ihren Inhalt“[S. VIII]. Darin u. a. Umrechnung von Sexagesimalbrüchen in Dezimalbrüche.
P. Luckey: Der Lehrbrief über den Kreisumfang (ar-risäla al-muhitiya) von Gamsid b. Mas ud al-Käsi. Abh. der Akad. d. Wiss. Berlin, Math.-naturwiss. Kl 1950, 6. Berlin 1953. [214].
Lösung einer kubischen Gleichung durch ein Iterationsverfahren [204].
Bahä’ al-Din Bahä’ al-Din Muhammad ibn al-Husain al-’Amili,
geb. 1547 in Baalbek, lebte wahrscheinlich in Persien, starb 1622 in Isfahan. Behaeddin’s Essenz der Rechenkunst, arab. und deutsch ed. G. H. F. Nesselmann. Berlin 1843.
Beha-eddin lebte in der spätesten Zeit der Blüte der arabischen Kultur, sein Werk ist gewissermaßen der letzte Blick, den ein Scheidender auf den Glanz früherer Jahre zurückwirft, um davon dem Gedächtnisse noch zu erhalten, was sich noch retten läßt.“
In einem Abschnitt „Unlösbare Aufgaben“findet sich: „Eine Kubikzahl soll in zwei Teile geteilt werden, die auch Kubikzahlen sind.“
Zitierte Autoren des Abendlandes
Albert von Sachsen, ca. 1325–1390 „Was einander deckt, ist einander gleich“, angewandt auf Mengen [111]: Quaestiones… in libros de celo et mundo. 1492. Quaestio X.
Bachet de Méziriac, Claude Gaspard, 1581–1638 Problèmes plaisans et délectables, qui se font par les nombres. Lyon 1612, 2. Aufl. 1624. Prop. IV-XIII: Sätze über gerade-mal-gerade usw. Zahlen [84].
Bolzano, Bernard, 1781–1848 Kontinuum [107]: Paradoxien des Unendlichen. Verfaßt 1847/48, hrsg. von F. Prihonsky 1851. § 38. - Zwischenwertsatz [96]: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. Prag 1817. Ostw. Klass. 153. Leipzig 1905.
11537–1612 Euclidis elementorum libri XV. Rom 1574. Benutzte Ausgabe Köln 1591. - Buch I, Axiom XIX (S. 18): Omne totum aequale est omnibus suis partibus simul sumptis [107]. - Zwischenwertsatz [96]: Buch III, Theor. 15. S. 145.
Descartes, René, 1596–1650 Intuition und Deduktion [85]: Regulae ad directionem ingenii. (1629). Ed. A. Buchenau. Leipzig 1907, deutsch von A. Buchenau: Regeln zur Leitung des Geistes. Leipzig: Meiner 1920. - Regel III.
Dürer, Albrecht, 1471–1528 Näherungsweise Kreiskonstruktion [69]: Underweysung der messung, mit dem zirckel vnd richtscheyt. Nürnberg 1525. - In Buch 2.
Euler, Leonhard, 1707–1783 Op.: Opera omnia. Hrsg. von der Schweiz. Naturforsch. Gesellschaft. I = Serie I, Opera mathematica.
Über vollkommene Zahlen [85]: De numeris amicabilibus. - Posthum erschienen: Comm. Arithm. 2, 1849, S. 627–636 = Op. I, Bd. 5, S. 353–365. - Zum Problem der 100 Vögel (Regel Coeci) [181]: Algebra (1770) = Op. I, Bd. 1. 2. Teil, 2. Abschnitt, Kap. 2. - Zum „Chinesischen Restproblem“[183]: Solutio problematis arithmetici de inveniendo numero, qui per datos numeros divisus relinquat data residua. Comm. acad. sci. Petrop. 7, (1734/35), 1740 = Op. I, Bd. 2, S. 18–32.
Fermat, Pierre, de, 1601–1665 Op.: Oeuvres de Fermat. Ed. P. Tannery, Ch. de Henry. 5 Bde. Paris 1891–1922. /7-ecks-Zahlen [143]: Brief an Mersenne, Sept. oder Okt. 1636. Op. Bd. 2, S. 65.
Galilei, Galileo, 1564-1642 Parabeltangente [136]: Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali. Leiden 1638. - Deutsch von A. von Oettingen: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige… Leipzig 1890, 1891. Ostw. Klass. 11. 24. 25. Nachdruck Darmstadt: Wiss. Buchges. 1964. - 4. Tag. S. 220.
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Gericke, H. (1984). Biographisch-bibliographische Notizen. In: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-68630-6_4
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