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Biographisch-bibliographische Notizen

  • Helmuth Gericke
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Zusammenfassung

Die in einer westlichen Sprache zugänglichen Quellen sollten einigermaßen vollständig aufgeführt sein, bei der Literatur habe ich mich nicht um Vollständigkeit bemüht; ich nenne Werke und Arbeiten, aus denen ich Wesentliches gelernt habe, und solche, die vermutlich leicht zugänglich sind.

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Literatur

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  60. Szabö, Arpäd Anhang: Wie kamen die Pythagoreer zu dem Satz Eucl., Elem. II, 5? (Das Buch faßt ältere Arbeiten des Verf. zusammen.)Google Scholar
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  64. van der Waerden, B. L., s. unter 4.1.0 und 4.1.1; ferner:Pyth. Wiss.: Pythagoreische Wissenschaft. In RE. Bd. 24, Sp. 277–300.Google Scholar
  65. van der Waerden, B. L. Pyth.: Die Pythagoreer. Religiöse Bruderschaft und Schule der Wissenschaft. Zürich, München: Artemis Verlag 1979.zbMATHGoogle Scholar
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  67. Vogel, Kurt Gr. L.: Beiträge zur griechischen Logistik. Sitzungsber. der Bayer. Adak. d. Wiss., Math.-naturw. Abt. 1936, S. 357–472. (Über die Rechenkunst der Griechen)Google Scholar
  68. Wahrscheinlich Zeitgenosse des Simplikios (6.Jh. n.Chr.). Gab einen Beweis des Parallelenpostulats [210]Google Scholar
  69. Mitte des 5. Jh. v.Chr. Maler aus Samos, arbeitete in Athen. Vitruv [Arch. VII, Vorr. 12]: „Zuerst nämlich schuf Agatharchos in Athen, als Äschylos eine Tragödie aufführte, eine Dekoration und hinterließ darüber eine Schrift.“Google Scholar
  70. Römische Feldmesser, nach ihrem wichtigsten Gerät, der Groma [60], auch Gromatiker genannt. Ihre Aufgaben waren das Abstecken von Tempelgebieten, Städten und Lagern, ferner Flurgrenzziehungen und Ackerverteilungen. Schriften gibt es etwa seit 100 n.Chr. Durch sie sind geometrische Kenntnisse ins Mittelalter überliefert worden. [168]. Vierecksformel [168].Google Scholar
  71. Blume, F., K. Lachmann und A. Rudorff: Die Schriften der römischen Feldmesser. 2 Bde. Berlin 1848, 1852.Google Scholar
  72. Bubnov, N.: Gerberti Opera Mathematica. Berlin 1899. Nachdruck Hildesheim: Olms 1963. -Appendix VII. De corporis gromaticorum libellis mathematicis.Google Scholar
  73. Dilke, O. A. W.: The Roman Land Surveyors. An Introduction to the Agrimensores. - Newton Abbot: David and Charles 1971.Google Scholar
  74. Peripatetiker. Begann etwa 198 n.Chr. mit Vorlesungen in Athen. Schrieb Kommentare zu den Schriften des Aristoteles. Bericht über Kreisquadraturen [95].Google Scholar
  75. Geb. vor 445 n. Chr. Schüler von Proklos, seit 485 Schulhaupt der Platonischen Schule in Alexandria. Die Schüler dieser Schule waren teils Heiden, teils Christen. Die Schule bestand bis zur Eroberung von Alexandria durch die Araber (641/642). A. war vielleicht pro forma Christ. Zu seinen Schülern gehörten Simplikios und Philoponos. A. starb zwischen 517 und 526. Zur Kreisquadratur [95].Google Scholar
  76. Geb. ca. 500 in Klazomenai, kam etwa 460 nach Athen, wurde Freund des Perikles und des Euripides. Diog. L. [II, 8, 10]: „Man sagt, er habe den Fall des Meteorsteins in der Nähe von Aigospotamoi (468/467) vorausgesagt, von dem er sagte, er werde aus der Sonne herausfallen.“- A. wird das schwerlich vorausgesagt haben, aber der Fall dieses Meteorsteins könnte der Anlaß dafür gewesen sein, daß er lehrte, die Sonne und alle Himmelskörper seien glühende Steine. Diese Lehre wird von Piaton bezeugt [Apolog. 26 d]. A. wurde (daher) 430 wegen Gottlosigkeit angeklagt, mußte Athen verlassen und ging nach Lampsakos. Dort starb er um 425 v. Chr.Google Scholar
  77. Mathematisches: A. soll sich im Gefängnis mit der Quadratur des Kreises beschäftigt haben [Plutarch, zitiert nach Diels 59 A 38] [94]. Er lehrte: „Im Kleinen gibt es kein Kleinstes, sondern immer noch ein Kleineres“[Diels 59 B 3].Google Scholar
  78. Geb. etwa 610 in Milet, gest. etwa 546. Erklärte als Ursubstanz das Grenzenlosunendliche (apeiron) [73]. Die Erde habe die Form einer Säulentrommel, die Sterne seien mit Feuer gefüllte Schläuche mit einer Öffnung, aus der das Feuer herausscheint [147]. Er stellte in Sparta einen Gnomon (Schattenstab, Sonnenuhr) auf, soll eine Erdkarte gezeichnet und eine „Sphaira“(einen Himmelsglobus) konstruiert haben. [Diog. L. II, 1].Google Scholar
  79. Wirkte um 545 in Milet, gest. 528/525 (= 63. Olympiade). Ursubstanz ist die Luft [74]. Die Erde ist eine flache Scheibe. Die Sterne bewegen sich nicht unter der Erde durch, sondern um die Erde herum [147].Google Scholar
  80. Wurde 532 n. Chr. gemeinsam mit Isidoros von Milet mit dem Neubau der Hagia Sophia in Konstantinopel beauftragt, starb 534. Schrieb über Brennspiegel. [Heath: Gr. M. Bd. 2, S. 541–543].Google Scholar
  81. Lebte in Athen, war Zeitgenosse des Sokrates.Google Scholar
  82. Quadratur des Kreises mittels einbeschriebener Polygone, berichtet von Themistios und Simplikios. [95, 97]Google Scholar
  83. F. Rudio: Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig 1907.zbMATHGoogle Scholar
  84. Nach Angabe von Eutokios [Apollonios K. Bd. 2, S. 168] ist er in Perge in Pamphylien geboren und erreichte die Blütezeit seines Lebens (40 J.) zur Zeit des Ptolemaios Euergetes (Reg. Zeit 246–222/221). A. studierte in der Schule von Euklid in Alexandria [Pappos, Coli. VII, 35. Hultsch S. 678], wurde berühmt durch astronomische Arbeiten z. Z. von Ptolemaios Philopator (Reg. Zeit 222/ 221–204). Das vierte Buch der „Kegelschnitte“widmete er dem König Attalos von Pergamon (Reg. Zeit 241–197). Danach wird seine Lebenszeit auf etwa 262–190 v.Chr. angesetzt [Heath, Gr. M., Bd. 2, S. 126].Google Scholar
  85. Konika. 8 Bücher, I-IV griechisch erhalten, V-VII arabisch erhalten, VIII verloren.Google Scholar
  86. E. Halley: Apollonii Conicorum libri octo. Oxford 1710. - Enthält den griechischen Text der Bücher I-IV, eine lateinische Übersetzung der Bücher V-VII und eine Wiederherstellung des Buches VIII.Google Scholar
  87. K.: Apollonii Pergaei quae graece extant cum commentariis antiquis. Ed. J. L. Heiberg. Leipzig: Teubner. 2 Bde. 1891–1893. Gr. und lat.Google Scholar
  88. K. d.: Die Kegelschnitte des Apollonios. Übers, von A. Czwalina. München, Berlin 1926. -Nachdruck: Darmstadt. Wiss. Buchges. 1967. ( Buch I-IV).Google Scholar
  89. K. d. Balsam: Balsam, H.: Des Apollonios sieben Bücher über Kegelschnitte nebst dem durch Halley wiederhergestellten achten Buche. Berlin 1861.Google Scholar
  90. K. e.: T. L. Heath: Apollonius’ Treatise on Conic Sections. Ed. in Modern Notation with Introductions, including an Essay on the Earlier History of the Subject. Cambridge 1896. K. f.: P. ver Eecke: Les coniques. Brügge 1924. ( Buch I-VII. )Google Scholar
  91. K. ngr.: Apollonioy Konika. Ed. E. Stamatis. Athen 1975–1976. I-IV: Text von Heiberg mit neugriechischer Übersetzung. V-VII: neugriechische Übersetzung nach Halley. 4 Bde.Google Scholar
  92. Weitere Werke: VS.: Über den Verhältnisschnitt. Apollonii de sectione rationis libri duo ex arabico MSto latine versi. E. Halley, Oxford 1706. (Die Aufgabe ist: gegeben sind zwei Geraden und auf jeder ein Punkt (A, ß), ferner ein Punkt O außerhalb der Geraden. Durch diesen ist eine Gerade so zu legen, daß sie auf den gegebenen Geraden von den gegebenen Punkten aus Strecken in einem gegebenen Verhältnis abschneidet.)Google Scholar
  93. Über weitere Werke berichtet Pappos [Coli. VII, 3 = H. S. 636]; darunter sind: 2 Bücher über Berührungen. Gegeben sind drei Figuren; jede kann ein Punkt oder eine Gerade oder ein Kreis sein. Gesucht ist ein Kreis, der durch jeden der gegebenen Punkte geht (wenn Punkte gegeben sind) und die gegebenen Geraden oder Kreise berührt, [s. Heath, Gr. M. Bd. 2, S. 181]Google Scholar
  94. 2.
    Bücher über „Ebene Örter“, die Fermat rekonstruiert hat.Google Scholar
  95. 2.
    Bücher über Einschiebungen.Google Scholar
  96. Nach Proklos [Zu Def. 4, S. 105] bemerkte Apollonios, daß die Schraubenlinie auf dem Zylinder òμotoμερής d. h. gleichförmig in ihren Teilen ist.Google Scholar
  97. Nach Ptolemaios [Almagest XII, Kap. 1] hat Apollonios die Epizykel- und die Exzentertheorie der Planetenbewegung miteinander verglichen.Google Scholar
  98. s. Fladt, zitiert auf S. 222.Google Scholar
  99. Neugebauer, O.: Apollonius-Studien. Qu. u. St. B 2, 1933, S. 215 – 254.Google Scholar
  100. Op.: Archimedis Opera omnia cum commentariis Eutocii. Ed. J. L. Heiberg. 2. Aufl., 3 Bde. Leipzig: Teubner 1910–1915. Nachdruck Stuttgart 1972. Dazu als Bd. 4: Archimedes: Über einander berührende Kreise. Ed. Y. Dold-Samplonius, H. Hermelink und M. Schramm. Stuttgart 1975.Google Scholar
  101. Op. d.: Archimedes Werke, übers, von A. Czwalina. - Im Anhang: Kreismessung, übers, von F. Rudio. Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen, übers, von J. L. Heiberg und kommentiert von H. G. Zeuthen. - Darmstadt: Wiss. Buchges. 1963. Op. e.: The Works of Archimedes. Ed. in Modern Notation with Introductory Chapters (185 S.) by T. L. Heath. 1897. - With a Supplement: The Method of Archimedes. 1912. - Nachdruck: New York: Dover Publ. 1953.Google Scholar
  102. Op. f.: Oeuvres complètes d’Archimède. Ed. P. ver Eecke. Paris, Brüssel 1921. 2. Aufl. mitGoogle Scholar
  103. Übersetzung der Kommentare von Eutokios. Paris 1960.Google Scholar
  104. Op. ngr.: APXIMHΔOYΣ AΠANTA, ed. E. Stamatis. Der Text von Heiberg mit neugriechischer Übersetzung, Scholien und Ergänzungen. 3 Teile in 4 Bd. Athen 1970–74.Google Scholar
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  108. Sp.: De lineis spiralibus. Op. Bd. 2, S. 1–121. Über Spiralen. Op. d., S. 1–71.Google Scholar
  109. Gl. Fl.: De planorum aequilibriis. Op. Bd. 2, S. 123–213. Über das Gleichgewicht ebener Flächen oder über den Schwerpunkt ebener Flächen. Op. d, S. 177–210.Google Scholar
  110. SZ.: Arenarius. Op. Bd. 2, 215–259. Die Sandzahl. Op. d., S. 347–364.Google Scholar
  111. Qu. P.: Quadratura parabolae. Op. Bd. 2, S. 261–315. Die Quadratur der Parabel. Op. d., S. 151–176.Google Scholar
  112. Schw. K.: De corporibus fluitantibus. Op. Bd. 2, S. 317–413. Über schwimmende Körper. Op. d., S. 283–346.Google Scholar
  113. St.: Stomachion. Op. Bd. 2, S. 415–424.Google Scholar
  114. Meth.: De mechanicis propositionibus ad Eratosthenem methodus. Op. Bd. 2, S. 425–507. Eine neue Schrift des Archimedes. Op. d., S. 379–423.Google Scholar
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  117. Eine ausführliche Charakterisierung von Archimedes gibt Plutarch in der Biographie des Marcellus (§ 14–19).Google Scholar
  118. Dijksterhuis, E. J.: Archimedes. Kopenhagen 1956.Google Scholar
  119. Schneider, Ivo: Archimedes, Ingenieur, Naturwissenschaftler und Mathematiker. Darmstadt, Wiss. Buchgesellschaft 1979. Erträge der Forschung Bd. 102. (Neue gründliche Durcharbeitung der Quellen, die z.T. zu neuen Auffassungen führt; ins-besondere wird der Ingenieur Archimedes herausgestellt. - Ausführliches Literaturver-zeichnis.)Google Scholar
  120. Bachmakova, I. G.: Les méthodes différentielles d’Archimède. Arch. Hist. Exact Sci. 2, 1962/66, S. 87–107.Google Scholar
  121. Edwards, C. H. Jr. Dreiteilung des Winkels [92]. Quadratur der Parabel [119]. Summe einer geometrischen Reihe [119]. Spirale [120]. Länge einer Kurve, Konkavität [126]. Kreismessung [127, 173]. Bezeichnung der Kegelschnitte [131]. Fläche der Ellipse [134]. Volumen des Durchdringungskörpers zweier Zylinder [175]. Kubische Gleichung [199]. Siebeneck [200].Google Scholar
  122. Er war ein Freund Piatons und soll durch einen Brief an den Tyrannen Dionysios I von Syrakus Piaton vor dem Tode gerettet haben [Diog. L. VIII, Kap. 4 = § 79–83]. Man setzt daher die Zeit der Wirksamkeit von A. als etwa 400–360 v. Chr. an. Er wurde siebenmal zum Strategen gewählt.Google Scholar
  123. A. arbeitete über Musiktheorie, deren zahlentheoretische Grundlagen, auch über die Entstehung und Fortpflanzung der Töne. Nach Boetius [De musica III, 11] bewies er, daß zwischen zwei Zahlen, die im „überteiligen“Verhältnis stehen, d. h. im Verhältnis (n+1):n, keine mittlere Proportionale (ganzzahlig) möglich ist. Ein etwas allgemeinerer Satz steht bei Euklid [El. VIII, 8]. Wahrscheinlich stammt das Buch VIII der El. von Archytas [van der Waerden, E. W., S. 182–188].Google Scholar
  124. Für die Verdoppelung des Würfels, d. h. die Einschaltung zweier geometrischer Mittel zwischen zwei gegebenen Strecken, gab er eine raffinierte Konstruktion an, die von Eutokios [Archimedes, Op., Bd. 3, S. 84–89] nach Eudemos überliefert ist. Einen für Archytas möglichen Gedankengang gibt van der Waerden [E. W., S. 249–252].Google Scholar
  125. Nach Vitruv [Arch. VII, Vorr., 14] hat A. „praecepta… de machinationibus” aufgeschrieben, nach Diog. L. [s. o.] soll er die Mechanik nach mathematischen Prinzipien systematisch behandelt haben (τά μηχαvικά ταĩς μαϑηματικαĩς προσχρησάμεvος άρχαĩς μεϑώδευσε).Google Scholar
  126. Pappos berichtet, daß A. „fünf Bücher über körperliche Örter in Verbindung mit Kegelschnitten“geschrieben habe [Coli. ed. Hultsch S. 672] [130]. Dieses Werk muß älter sein als Euklids Werk über Kegelschnitte. A.s Schaffenszeit könnte also etwa 350–330 v. Chr. gewesen sein. - Hypsikles nennt im sog. Buch XIV von Euklids Elementen A. als Quelle für den Satz: „Derselbe Kreis umschließt das Fünfeck des Dodekaeders und das Dreieck des Ikosaeders, wenn diese Körper derselben Kugel einbeschrieben sind“[Euklid Op. Bd. 5, S. 6]. - Mehr ist von A. nicht bekannt.Google Scholar
  127. Archimedes schreibt [SZ. Kap. 1]: „Aristarch von Samos… nahm an, daß die Fixsterne und die Sonne unbeweglich seien, die Erde sich um die Sonne, die in der Mitte der Erdbahn liege, in einem Kreise bewege, die Fixsternsphäre aber, deren Mittelpunkt im Mittelpunkt der Sonne liege, so groß sei, daß die Peripherie der Erdbahn sich zum Abstände der Fixsterne verhalte wie der Mittelpunkt der Kugel zu ihrer Oberfläche.“Eine Schrift von A. darüber ist nicht er¬halten. - [151]Google Scholar
  128. Erhalten ist eine Schrift „Über die Größen und Abstände der Sonne und des Mondes“.Google Scholar
  129. T. Heath: Aristarchus of Samos, the Ancient Copernicus. A History of Greek Astronomy to Aristarchos, together with Aristarchus’s Treatise on the Sizes and Distances of the Sun and Moon. A New Greek Text with Translation and Notes. Oxford: Clarendon Press 1913. Nachdruck Oxford 1959.Google Scholar
  130. Geb. 384 v.Chr. in Stageira.Google Scholar
  131. 367.
    trat A. in die Akademie Piatons ein, der er bis zu Piatons Tod 348/7 angehörte. Dann hielt er sich zeitweise beim Fürsten Hermeias von Atarneus (Kleinasien), zeitweise in Mytilene auf Lesbos auf. 343 wurde er von König Philipp von Makedonien zum Erzieher seines Sohnes Alexander berufen. Nach dem Tod Philipps kehrte A. nach Athen zurück und gründete dort eine Schule (335), die Lykeion (nach dem Ort der Vorträge im Gymnasion Lykeion) oder Peripatos (nach einer benachbarten Wandelhalle - peripatein = umhergehen -) genannt wurde. Nach Alexanders Tod ging er wegen der antimakedonischen Haltung der Athener nach Chalkis auf Euböa (323), starb dort 322 v. Chr.Google Scholar
  132. Op.: Aristotelis Opera, ed. I. Bekker im Auftrag der kgl. Preuß. Akad. Berlin: Reimer 1831. Nachdruck: Darmstadt: Wiss. Buchges. 1960. Nach dieser Ausgabe wird zitiert.Google Scholar
  133. Darin Kap. 4: Die 10 Kategorien [106].Google Scholar
  134. Peri Hermeneias. De interpretatione. Lehre vom Satz. (Über Formen der sprachlichen Ausdrucksweise.)Google Scholar
  135. 1.
    Anal.: Analytica priora. Erste Analytik. (Lehre vom Schluß. Syllogistik.)Google Scholar
  136. 2.
    Anal.: Analytica posteriora. Zweite Analytik. Darin: Die Grundlagen einer beweisenden Wissenschaft [110].Google Scholar
  137. Top.: Topik. Buch VII handelt von der Definition.Google Scholar
  138. Phys.: Physik. In Buch III: Unterscheidung des der Wirklichkeit nach (entelecheiä, actu) Seienden und des der Möglichkeit nach (dynamei, potentiä) Seienden. In Buch IV u. a.: Diskussion über das Leere. In Buch VIII, Kap. 5: Das Bewegungsgesetz [160].Google Scholar
  139. Him.: Über den Himmel. De coelo.Google Scholar
  140. W. u. V.: Vom Werden (Entstehen) und Vergehen.Google Scholar
  141. Metaph.: Metaphysik.Google Scholar
  142. Buch Δ enthält Erklärungen verschiedener Begriffe, u.a. Kap. 6: Das Eine [109]. Kap. 13: Die Quantität [106].Google Scholar
  143. Unt. L.: Über unteilbare Linien. (Alt, aber nicht von Aristoteles). Ferner Schriften über Ethik, Rhetorik, Poetik und ZoologieGoogle Scholar
  144. Heath, Th. L.: Mathematics in Aristotle. Oxford 1949.zbMATHGoogle Scholar
  145. Heiberg, J. L.: Mathematisches zu Aristoteles. - Abh. zur Gesch. d. mathem. Wissensch. 18, 1904, S. 1–49. Auch einzeln erschienen: Leipzig 1904.Google Scholar
  146. Tóth, Imre: Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum. Arch. Hist. Exact Sci. 3, 1967, S. 249–422.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  147. Metaph. Δ13 = 1020a 7ff.: Erklärung des Begriffs „Größe“[106ff.].Google Scholar
  148. 2.
    Anal. I, 2 und 10 = 71 b 9ff., 76a 31 ff.: Über die Grundlagen einer beweisenden Wissenschaft [110 ff.].Google Scholar
  149. Weitere Hinweise: A. über Thaies [72], über die Pythagoreer [81], über Sokrates [104]. Gattung und Art [106]. Definition; Größe, Grenze, zusammenhängend [106f]. Parallelogramm der Geschwindigkeiten [122]. Figurierte Zahlen [142]. Vier Elemente [159]. Bewegungslehre [159].Google Scholar
  150. Nach Diogenes Laertius [IV, Kap. 6, 29] war Arkesilaos von Pitane zunächst Schüler von A., ging dann nach Athen und wurde Schüler von Theophrast. Also wird A. etwa gleichaltrig mit Theophrast (372–287) gewesen sein. SeineGoogle Scholar
  151. Werke „Über die sich bewegende Kugel“und „Über die Auf- und Untergänge (der Sterne)“wurden von Euklid in den Phainomena benutzt. - [150]Google Scholar
  152. Autolyci de sphaera quae movetur liber; de ortibus et occasibus libri duo, ed. F. Hultsch. Leipzig: Teubner 1885.Google Scholar
  153. Deutsche Übersetzung von A. Czwalina: Autolykos: Rotierende Kugel und Aufgang und Untergang der Gestirne. - (Zusammen mit Theodosios von Tripolis: Sphaerik). Leipzig 1931. Ostw. Klass. 232.Google Scholar
  154. Boetius, ca. 480–524 nach Chr. [142, 168] Schüler des Eukleides von Megara (ca. 450–370 v. Chr.). Wahrscheinlich identisch mit dem Bryson, der sich mit der Kreisquadratur beschäftigte und dabei den Satz (das Axiom) benutzte: Wozu es ein Größeres und ein Kleineres gibt, dazu gibt es auch ein Gleiches [95]. Literatur: O. Becker, Eud. II.Google Scholar
  155. Cassiodorus Senator, 490–583 n.Chr. [168]. Geb. 3. 1. 106 in Arpinum. Studierte u.a. 78 in Athen, 78/77 bei Poseidonios in Rhodos. Auf weitere biographische Daten sei hier verzichtet. C. wurde am 7. 12. 43 v.Chr. bei Caieta ermordet.Google Scholar
  156. Naturwissenschaftliche Angaben finden sich in den Schriften De natura deorum und De divinatione [166].Google Scholar
  157. Um 350 v.Chr. Bruder des Menaichmos [Proklos, Math. Verz.], benutzte die von Hippias von Elis zur Dreiteilung des Winkels gefundene Kurve zur Quadratur des Kreises; sie heißt daher Quadratrix [92].Google Scholar
  158. Ca. 350–280 v. Chr. Politiker und Philosoph in Athen, das damals zum Einflußbereich der Ptolemäer gehörte. Bei der Eroberung Athens durch den makedonischen Feldherrn und späteren König Demetrios I Poliorketes mußte er 307 nach Ägypten fliehen. Von D. beraten, gründete Ptolemaios I Soter des „Museion“(s. unter Euklid). Wahrscheinlich hat D. Euklid in Athen gekannt und seine Berufung nach Alexandria veranlaßt.Google Scholar
  159. Geb. ca. 460 v. Chr. in Abdera, machte viele Reisen, hielt sich vielleicht auch in Athen auf, aber jedenfalls nur kurze Zeit. Er starb in seiner Heimat ca. 370 v.Chr.Google Scholar
  160. D. hat die von Leukipp begründete Atomistik ausgebaut. Grundeigenschaften der Atome waren ihm Gestalt, Lage im Raum und relative Lage zueinander. [K. von Fritz in LAW]. [88, 158].Google Scholar
  161. Von seinen mathematischen Werken ist fast nichts erhalten. Nach Archimedes [Meth. 1 = Op. Bd. 2, S. 430] hat er (ohne Beweis?) bemerkt, daß das Volumen des Kegels = 1/3 des Volumens des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe ist.Google Scholar
  162. D. überlegte sich: „Wenn ein Kegel (παρά τήv βάσιv, also) parallel zur Grundfläche von Ebenen geschnitten wird, wie soll man sich die entstehenden Schnittflächen denken, gleich oder ungleich? Sind sie ungleich, dann werden sie den Kegel ungleichmäßig machen, da er viele stufenartige Einschnitte und Vorsprünge erhält; sind sie dagegen gleich, so werden (alle) Schnitte gleich sein, und der Kegel wird die Erscheinung eines Zylinders darbieten.“[Diels 68 B 155].Google Scholar
  163. Diogenes Laertios, um 200 n. Chr.Google Scholar
  164. Diog, L.: Diogenis Laertii Vitae Philosophorum. Ed. H. S. Long. 2 Bde. Oxford, University Press 1964. ( Griech. )Google Scholar
  165. Diogenes Laertius: Leben und Meinungen berühmter Philosophen. Übers, von O. Apelt. Leipzig, Meiner 1921. Philos. Bibl. Bd. 53. (Deutsch) (Ein damals populäres Werk, das viele wichtige Daten enthält [71].)Google Scholar
  166. Diokles, um 100 n.Chr.Google Scholar
  167. Schrieb ein Werk über Brennspiegel; darin beschreibt er die Kissoide (K*iacrÖ£=Efeu), eine Kurve, mit der er die Aufgabe der Würfelverdoppelung, d. h. des Einschiebens zweier mittlerer Proportionaler zwischen zwei gegebenen Größen löst. Eutokios in [Archimedes Op. Bd. 3, S. 160 ff.], Pappos [III, Hultsch, S. 54, IV, Hultsch S. 270].Google Scholar
  168. Anatolios, der ca. 270/280 n. Chr. Bischof von Laodicea war, widmete ihm eine Schrift über das ägyptische Rechnen. Das berichtet Psellos (11. Jh., Byzanz) in einem Brief [Op. Bd. 2, S. XVII, 38 f. S. Heath, Gr. M. Bd. 2, S. 448]. Also lebte Diophant etwa um 250 n. Chr.Google Scholar
  169. Op.: Diophanti Alexandrini Opera omnia cum Graecis commentariis. Griech. und lat. Ed. P. Tannery. 2 Bde. Leipzig 1893, 1895. Darin: Ar.: Arithmetik. 6 Bücher. - P.: Über Polygonalzahlen.Google Scholar
  170. Op. e. = Heath, Dioph.: Heath, Sir Thomas L., Diophantus of Alexandria. A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge 1895. 2. Aufl. 1910. Neudruck Dover Reprint 1964. ( Wichtigste Literatur über Diophant. )Google Scholar
  171. Op. d., W.: Die Arithmetik und die Schrift über die Polygonalzahlen. Deutsch von G. Wertheim. Leipzig 1890.Google Scholar
  172. Op. d., C.: Arithmetik des Diophantos aus Alexandria. Buch über die Polygonalzahlen. Deutsch von A. Czwalina. Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht. 1952.Google Scholar
  173. Op. f.: Franz. Übers, von P. ver Eecke. Brügge 1926. Paris 1959.Google Scholar
  174. Op. ngr.: Diophantou Arithmetika. Griechisch und neugriechisch. Ed. E. S. Stamatis. Athen 1963.Google Scholar
  175. 1463.
    entdeckte Regiomotan eine Diophant-Handschrift.Google Scholar
  176. 1472.
    Bombelli behandelt Teile daraus in seiner Algebra.Google Scholar
  177. 1575.
    Lateinische Übersetzung von W. Holtzmann (Xylander) Basel.Google Scholar
  178. 1621.
    Griechische Ausgabe von Bachet de Méziriac.Google Scholar
  179. 1670.
    Aufl. mit Anmerkungen von Pierre de Fermat. Besorgt von dessen Sohn Samuel Fermat.Google Scholar
  180. Die Arithmetik soll 13 Bücher umfaßt haben. Bekannt waren bis vor kurzem nur sechs. Vier weitere Bücher wurden in arabischer Übersetzung aufgefunden; sie sind als Buch IV-VII einzuordnen.Google Scholar
  181. Rashed, Roshdi: Les travaux perdus de Diophant. - Revue d’hist. sciences 17, 1974, 97–122, 18, 1975, 3–30.Google Scholar
  182. Sesiano, J.: Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qustä ibn Lüqä. New York, Heidelberg, Berlin: Springer 1982. Überarbeitete Fassung der Dissertation Providence, USA, 1975.Google Scholar
  183. Polygonalzahlen [142], Potenzen und Rechenoperationen [143], Beispiele [144].Google Scholar
  184. Empedokles von Akragas, ca. 500–430 v. Chr.Google Scholar
  185. E. ist der Schöpfer der Lehre von den vier Elementen Feuer, Luft, Wasser, Erde [88, 158]; bewegende Kräfte sind Liebe und Streit.Google Scholar
  186. Komödiendichter in Syrakus um 480–470 v.Chr. [81].Google Scholar
  187. Geb. in Kyrene ca. 276 v. Chr. (= etwas jünger als Archimedes, der seine Methodenlehre an E. sandte), kam um 245 nach Ägypten, wurde Erzieher des Kronprinzen und Vorsteher der Bibliothek in Alexandria, starb dort ca. 194 v.Chr.Google Scholar
  188. E. erfand ein Gerät zur Einschaltung zweier mittlerer Proportionaler (Würfelverdoppelung) [Eutokios in Archimedes Op. Bd. 3, S. 88–97] [91]. - Das „Sieb des E.“, ein Verfahren zur Ermittlung der Primzahlen, beschreibt Nikomachos in Ar. I, 13. - Über sein Verfahren zur Messung des Erdumfangs [148] berichten Kleomedes, M. C., I, 10, Strabon II, 5, Plinius, Nat. Hist. II, 247. - E. entwarf eine Erdkarte, deren Grundgerüst der ungefähre Parallelkreis durch Gibraltar, Rhodos und das Taurusgebirge und der ungefähre Meridian durch Meroe, Alexandria, Rhodos und die Mündung des Borysthenes (Dnjepr) waren [Strabon, II, 5, § 7]. - E. verfaßte eine „Chronographie“, das ist ein Versuch, die Daten politischer und literarischer Ereignisse festzuhalten; als zeitliches Bezugssystem führte er die Olympiaden ein.Google Scholar
  189. Um 320 v. Chr. Schüler von Aristoteles, Freund von Theophrast. Schrieb u. a. eine Geschichte der Astronomie, eine Geschichte der Arithmetik, eine Geschichte der Geometrie, aus der antike Autoren, insbesondere Proklos, viel entnommen haben [70].Google Scholar
  190. Sätze von Thaies [76]. Flächenanlegung pythagoreisch [87]. Möndchen des Hippokrates [97].Google Scholar
  191. Die antiken Angaben über sein Leben sind nicht eindeutig. Wir folgen hier dem Artikel von K. von Fritz im LAW (1965) und geben zusätzlich die Daten von Lasserre (s. u.) an.Google Scholar
  192. E. ist etwa 400 v.Chr. (L. 295) in Knidos geboren. Nach Diog. L. [VIII, 86–91] war er in der Geometrie Schüler des Archytas, in der Medizin des Siziliers Philiston. Im Alter von 22 Jahren kam er nach Athen, reiste von dort nach Ägypten (L. 365/4), wo er sich 16 Monate aufhielt und an einem Observatorium in der Nähe von Heliopolis astronomische Beobachtungen anstellte. Danach leitete er eine Schule in Kyzikos, ging 368 (L. 350) nach Athen und „scheint dort während Piatons zweiter sizilischer Reise (367–365) und bei Aristoteles’ Eintritt in die Akademie stellvertretender Vorsteher der Akademie gewesen zu sein“. (Dagegen L.: „Sicher trat er nicht in die Akademie ein“. S. 141). Später kehrte E. in seine Heimatstadt zurück und starb dort etwa 347 (L.: 342/1). (E. soll im Alter von 53 Jahren gestorben sein und Piaton überlebt haben.)Google Scholar
  193. In der Mathematik begründete er die Proportionenlehre für allgemeine Größen (Euklid, El. V) (s. hier Abschnitt 2.3.1) und die Exhaustionsmethode (s. 2.3.2), in der Astronomie gab er mit der Theorie der konzentrischen Sphären erstmals eine mathematische Darstellung der Planetenbewegungen [151].Google Scholar
  194. Op. L.: = Lasserre: Eudoxos: Die Fragmente des Eudoxos von Knidos. Hrsg., übersetzt (deutsch), komm, von François Lasserre. Berlin: W. de Gruyter 1966.Google Scholar
  195. Becker, O.: Eudoxos-Studien.Google Scholar
  196. Riddell, R. C.: Eudoxan Mathematics and the Eudoxan Spheres. Arch. Hist. Exact Sci. 20, 1979, S. 1–19. (Eine Erklärung für die Konzeption der konzentrischen Sphären.)Google Scholar
  197. Fowler, D. H.: Anthyphairetic Ratio and Eudoxan Proportion. Arch. Hist. Exact Sci. 24, 1981, S. 69–72.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  198. Er war jünger als Eudoxos und älter als Archimedes, lebte wahrscheinlich zunächst in Athen, war Platoniker [Proklos, Math. Verz.]. Bei der Gründung des Museions in Alexandria (bald nach 300 v. Chr.) wurde er dorthin berufen und begründete dort eine einzigartige mathematische Schule. Apollonios soll bei seinen Schülern studiert haben; das dürfte um 250 v.Chr. gewesen sein. Demnach kann die Lebenszeit von Euklid etwa auf 340–270 angesetzt werden.Google Scholar
  199. Museion“bedeutet zunächst ein Musenheiligtum. Unter diesem Namen gründete Ptolemaios I Soter auf Rat des Demetrios von Phaleron ein Forschungsinstitut, in dem zahlreiche Gelehrte und Künstler aller Gebiete gemeinsam lebten und arbeiteten; dazu gehörte eine große Bibliothek. Das Museion bestand bis 389 n.Chr. Sein letzter Gelehrter war Theon von Alexandria.Google Scholar
  200. Murdoch, J. In DSBGoogle Scholar
  201. Folkerts, M.: Probleme der Euklidinterpretation. Centaurus 23, 1980, S. 185–215.zbMATHMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  202. Steck, M.: Bibliographia Euclideana. Nach dem Tode des Verf. hrsg. von M. Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg 1981. ( Ausführliche Beschreibung von Handschriften und Drucken, Abbildungen zahlreicher Titelblätter )Google Scholar
  203. Theon von Alexandria besorgte eine griechische Ausgabe, die bis ins 19. Jh. maßgebend war. 1808 entdeckte Peyrard einen Text, der auf eine vor-theonische Fassung zurückgeht.Google Scholar
  204. Mehrere arabische Gelehrte haben die El. ins Arabische übersetzt, so al-Haggäg (wirkte zwischen 786 und 833, wahrscheinlich in Bagdad), ferner Ishäq ibn Hunain (gest. in Bagdad 910/911), dessen Übersetzung verloren ist; erhalten ist eine Bearbeitung von Täbit ibn Qurra (836–901).Google Scholar
  205. Adelhard von Bath übersetzte die El. aus dem Arabischen ins Lateinische (zwischen 1116 und 1142); eine Neubearbeitung lieferte Campanus (kurz vor 1260 ). Dieser Text wurde 1482 in Venedig gedruckt. 1505 erschien eine Übersetzung aus dem Griechischen ins Lateinische von Zamberti, 1533 eine Edition des griechischen Textes durch Grynaeus (Basel), 1572 eine weitere lateinische Übersetzung von Commandino.Google Scholar
  206. Op.: Euclidis Opera omnia. Ed. J. L. Heiberg und H. Menge. Leipzig: Teubner. Bd. 1–4: Euclidis Elementa. I-XIII. Ed. Heiberg 1883–1885.Google Scholar
  207. Bd. 5: (Die nicht von Euklid stammenden Bücher) XIV, XV, Scholia in Elementa cum Prolegomenis criticis et Appendicibus. Ed. Heiberg 1888.Google Scholar
  208. Bd. 6: Euclidis Data cum commentario Marini et scholiis antiquis. Ed. Menge 1896.Google Scholar
  209. Bd. 7: Euclidis Optica, Opticorum Recensio Theonis, Catoptrica, cum scholiis antiquis. Ed. Heiberg 1895.Google Scholar
  210. Bd. 8: Euclidis Phaenomena et Scripta Música. Ed. Menge. Fragmenta. Ed. Heiberg 1916. (Neue Ausgabe, hrsg. von E. Stamatis. Leipzig: Teubner, seit 1969 )Google Scholar
  211. El.: Euklid: Die Elemente Buch I-XIII, übers, von Cl. Thaer. Leipzig 1933–1937. Nachdruck Darmstadt: Wiss. Buchges. 1962. Ich habe gewöhnlich diese Ausgabe benutzt. Ich zitiere nach der Nummer des Buches (lat. Ziffern) und der Nr. der Definition oder des §. Das ist unabhängig von der Ausgabe.Google Scholar
  212. El. e.: Heath, T. L.: The Thirteen Books of Euclid’s Elements, translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 3 Bde. Cambridge 1908. – 1926. - Nachdruck New York: Dover.Google Scholar
  213. El. f.: Peyrard, F.: Les Eléments d’Euclide, grec, latin, français. 3 Bde. Paris 1814–1818.Google Scholar
  214. El. (Ar.) f.: Itard, J.: Les livres arithmétiques d’Euclide. Paris: Hermann 1961. Die Bücher VII-IX, Übersetzung mit Einführung und Kommentar.Google Scholar
  215. Data: Die Data von Euklid, übers, von Cl. Thaer. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer 1962.Google Scholar
  216. s. Heath in El. e., Itard in El. (Ar.) f.Google Scholar
  217. Heiberg, J. L.: Studien über Euklid. Leipzig 1882.Google Scholar
  218. Beckmann, F.: Neue Gesichtspunkte zum 5. Buch Euklids. Arch. Hist. Exact Sci. 4, 1967/68, S. 1–144.Google Scholar
  219. Malmendier, N.: Eine Axiomatik zum 7. Buch der Elemente von Euklid. Mathem.-Physik. Semesterberichte 22, 1975, S. 240–254.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  220. Seidenberg, A.: Did Euclid’s Elements, Book I, Develop Geometry Axiomatically? Arch. Hist. Exact Sci. 14, 1974/75, S. 263–295. van der Waerden, B. L.: Postulate.Google Scholar
  221. Die folgende Skizze des Inhalts soll zeigen, in welchem Zusammenhang die einzelnen zitierten Stellen stehen, und einen Eindruck davon geben, wie folgerichtig dieses Werk aufgebaut ist.Google Scholar
  222. Buch I. Definitionen [107, 109]Google Scholar
  223. 1.
    Ein Punkt ist, was keine Teile hat.Google Scholar
  224. 2.
    Eine Linie breitenlose Länge.Google Scholar
  225. 3.
    Die Enden einer Linie sind Punkte.Google Scholar
  226. 4.
    Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt [109].Google Scholar
  227. 5.
    Ein Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.Google Scholar
  228. 6.
    Die Enden einer Fläche sind Linien.Google Scholar
  229. 7.
    Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmäßig liegt.Google Scholar
  230. 8.
    Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander gerade fortzusetzen.Google Scholar
  231. 9.
    Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade sind, heißt der Winkel geradlinig.Google Scholar
  232. 10.
    Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter; und die stehende gerade Linie heißt senkrecht zu (Lot auf) der, auf der sie steht.Google Scholar
  233. 11.
    Stumpf ist ein Winkel, wenn er größer als ein Rechter ist,Google Scholar
  234. 12.
    Spitz, wenn kleiner als ein Rechter.Google Scholar
  235. 13.
    Eine Grenze ist das, worin etwas endigt.Google Scholar
  236. 14.
    Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfaßt wird [107].Google Scholar
  237. 15.
    Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfaßte Figur mit der Eigenschaft, daß alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleich sind [109];Google Scholar
  238. 16.
    Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt.Google Scholar
  239. 17.
    Ein Durchmesser des Kreises ist jede durch den Mittelpunkt gezogene, auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke; eine solche hat auch die Eigenschaft, den Kreis zu halbieren. - [78].Google Scholar
  240. 18.
    Ein Halbkreis ist die vom Durchmesser und dem durch ihn abgeschnittenen Bogen umfaßte Figur; [und Mittelpunkt ist beim Halbkreise derselbe Punkt wie beim Kreise.]Google Scholar
  241. 19–22.
    (Erklärung der verschiedenen Arten von geradlinigen Figuren, Dreiek ken und Vierecken)Google Scholar
  242. 23.
    Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen. [Abschnitt 3.3.4]Google Scholar
  243. 1.
    Daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,Google Scholar
  244. 2.
    Daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,Google Scholar
  245. 3.
    Daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kannGoogle Scholar
  246. 4.
    Ax. 10) Daß alle rechten Winkel einander gleich sindGoogle Scholar
  247. 5.
    Ax. 11) Und daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. [Abschnitt 3.3.4]Google Scholar
  248. 1.
    Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.Google Scholar
  249. 2.
    Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.Google Scholar
  250. 3.
    Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.Google Scholar
  251. 4.
    Wenn Ungleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen ungleich.]Google Scholar
  252. 5.
    [Die Doppelten von demselben sind einander gleich.]Google Scholar
  253. 6.
    [Die Halben von demselben sind einander gleich.]Google Scholar
  254. 7.
    Was einander deckt, ist einander gleich.Google Scholar
  255. 8.
    Das Ganze ist größer als der Teil.Google Scholar
  256. 9.
    [Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum.]Google Scholar
  257. Es folgen Grundkonstruktionen (Abtragen von Strecken und Winkeln, Fällen von Loten usw.) und die dazu erforderlichen Sätze, insbesondere Kongruenzsätze. § 16: Satz vom Außenwinkel [205]. § 27-31 bringen Sätze über Parallelen, von § 29 an unter Benutzung des Parallelenpostulats, das für das Folgende unentbehrlich ist [89]. § 32: Winkelsumme im Dreieck. § 33,34: Existenz von Parallelogrammen (und damit von Rechtecken). Die Diagonale halbiert das Parallelogramm. - Dann folgt die Lehre vom Flächeninhalt und der Satz des Pythagoras.Google Scholar
  258. Def. 2: Daß sie den Kreis berühre (Tangente sei) sagt man von einer geraden Linie, die einen Kreis trifft, ihn aber bei Verlängerung nicht schneidet [121]. Def. 6: Kreisabschnitt ist die von einer Strecke und einem Kreisbogen be¬grenzte Figur.Google Scholar
  259. Def. 7: Winkel des Abschnitts ist der von der Strecke und dem Kreisbogen umfaßte.Google Scholar
  260. 16: Eine rechtwinklig zum Kreisdurchmesser vom Endpunkt aus gezogene gerade Linie muß außerhalb des Kreies fallen, und in den Zwischenraum der geraden Linie und des Bogens läßt sich keine weitere gerade Linie nebenhineinziehen.Google Scholar
  261. Der Winkel des Halbkreises ist größer als jeder spitze geradlinige Winkel, der Restwinkel kleiner.Google Scholar
  262. Diese Aussagen über den Berührungswinkel sind mit Rücksicht auf den Zwischenwertsatz viel diskutiert worden, z.B. von Proklos [95] und im 16.Jh. von Clavius und Peletier.Google Scholar
  263. Bisher wurden keine Verhältnisse geometrischer Größen, also keine Ähnlichkeit, und keine Flächeninhalte krummlinig begrenzter Figuren betrachtet. Dazu ist zunächst eine allgemeine Theorie der Größenverhältnisse erforderlich. Sie wird in Buch V entwickelt, das auf Eudoxos zurückgehen soll [115].Google Scholar
  264. Def. 4: Daß sie ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vervielfältigt einander übertreffen können.Google Scholar
  265. Def. 5: Man sagt, daß Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfältigung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind [115].Google Scholar
  266. 19: Ähnliche Dreiecke (§ 20: Ähnliche Vielecke) stehen zueinander zweimal im Verhältnis entsprechender Seiten. (D. h. die Flächen verhalten sich wie die Quadrate der Seiten.)Google Scholar
  267. In § 27–29 steht die geometrische Lösung quadratischer Gleichungen. Sie steht mit Recht an dieser Stelle, denn Euklid spricht nicht (wie ich es vereinfachend getan habe [128]) von Rechtecken und Quadraten, sondern z. B. in § 28 von der Aufgabe: „An eine gegebene Strecke ein einer geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm so anzulegen, daß ein einem gegebenen ähnliches Parallelogramm fehlt.“Google Scholar
  268. Die arithmetischen Bücher VII-IX scheinen den konsequenten Aufbau zu unterbrechen. Aber gerade wenn man weiß, daß die Verhältnisse ganzer Zahlen für die Geometrie nicht ausreichen, ist es sinnvoll, die Theorie dieser Zahlenverhältnisse zu entwickeln, um zu sehen, wie weit man damit kommt und was man damit nicht mehr erreichen kann. Z.B. wird in VI, § 12 gezeigt, daß man zu drei Strecken stets mittels ähnlicher Dreiecke eine vierte proportionale Strecke konstruieren kann, während in IX, § 19 gezeigt wird, daß es zu drei Zahlen a,b,c nur dann eine vierte Proportionale gibt, wenn bc durch a teilbar ist.Google Scholar
  269. Buch VII beginnt mit der klassischen Definition der Zahl: Def. 1: Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird [81]. Def. 2: Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. Def. 3–5 beschreiben die Verhältnisse, in denen zwei Zahlen zueinander stehen können. Dazu wird in § 4 bewiesen, daß es keine anderen Verhältnisse zwi¬schen Zahlen geben kann. In § 20 wird auf dieser Grundlage die Gleichheit von Zahlenverhältnissen definiert [114].Google Scholar
  270. Vorher wird die Einteilung der Zahlen in gerade und ungerade usw. [81], Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen erklärt. Auf die Definitionen folgt die Erklärung der Wechselwegnahme (wechselseitigen Subtraktion): § 1: Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher Zahlen abwechselnd immer die kleinere von der größeren weg, so müssen, wenn niemals ein Rest die vorangehende Zahl genau mißt, bis die Einheit übrig bleibt, die ursprünglichen Zahlen gegeneinander prim sein.Google Scholar
  271. In § 2 wird nach dieser Methode der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ermittelt.Google Scholar
  272. Von dem reichen Inhalt der arithmetischen Bücher erwähne ich nur noch die Frage der Einschaltung von einem oder zwei geometrischen Mitteln zwischen zwei gegebenen Zahlen in Buch VIII, die für die Rationalität oder Irrationalität von Quadrat-und Kubikwurzeln entscheidend ist, ferner die Sätze über die Zerlegung einer Zahl in Primzahlen [141], sowie die Lehre vom Geraden und Ungeraden und den Satz über vollkommene Zahlen am Ende von Buch IX [82].Google Scholar
  273. In Buch X, das vermutlich von Theaitetos stammt, wird eine Theorie der quadratischen Irrationalitäten entwickelt. Es beginnt ähnlich wie Buch VII: § 1. Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher (gleichartiger) Größen von der größeren ein Stück größer als die Hälfte weg und vom Rest ein Stück größer als die Hälfte und wiederholt dies immer, dann muß einmal eine Größe übrig bleiben, die kleiner als die kleinere Ausgangsgröße ist.Google Scholar
  274. Dieser Satz folgt leicht aus V, Def. 4. Er ist die Grundlage der ganzen griechischen Infinitesimalmathematik. - [117].Google Scholar
  275. 2: Mißt, wenn man unter zwei ungleichen Größen abwechselnd immer die kleinere von der größeren wegnimmt, der Rest niemals genau die vorhergehende Größe, so müssen die Größen inkommensurabel sein. Den Hauptinhalt des Buches bildet eine Theorie und Klassifikation der Irrationalitäten, die in Buch XIII benutzt wird.Google Scholar
  276. Am Ende des Buches steht der Beweis dafür „daß in jedem Quadrat die Diagonale der Seite linear inkommensurabel ist“. Er könnte am Anfang des Buches stehen, denn er zeigt, daß es Strecken gibt, die linear inkommensurabel, aber quadratisch kommensurabel sind - andernfalls ginge die ganze Theorie ins Leere. Aber die Methode, mit der das bewiesen wird, ist eine ganz andere als die in § 1 gelehrte allgemeine Methode.Google Scholar
  277. Mit Buch XI beginnt die Geometrie der räumlichen Figuren. Bemerkenswert ist, daß Kugel, Kegel und Zylinder durch Bewegung (Drehung eines Halbkreises, eines rechtwinkligen Dreiecks, eines Rechtecks) definiert werden [131]. Dann folgen (ähnlich wie in Buch I) grundlegende Sätze, z. B.Google Scholar
  278. §3.
    Wenn zwei Ebenen einander schneiden, ist ihr Schnittgebilde eine gerade Linie, ferner Sätze, die ohne Infinitesimalbetrachtungen beweisbar sind, z. B.Google Scholar
  279. §32.
    Parallelflache unter derselben Höhe verhalten sich zueinander wie die Grundflächen.Google Scholar
  280. §33.
    § 33: Ähnliche Parallelflache stehen zueinander dreimal im Verhältnis entsprechender Kanten.Google Scholar
  281. In Buch XII wird die Exhaustionsmethode angewandt, um zu beweisen: § 2: Kreise verhalten sich zueinander wie die Quadrate über den Durchmessern [117].Google Scholar
  282. §7.
    Zusatz: Jede Pyramide ist ein Drittel des Prismas, welches mit ihr dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe hat.Google Scholar
  283. §10.
    Jeder Kegel ist ein Drittel des Zylinders, der mit ihm dieselbe Grundfläche und die gleiche Höhe hat.Google Scholar
  284. In einem Scholion [Euklid, Op. Bd. 5, S. 628] wird dieser Satz dem Eudoxos zugeschrieben. Man wird das für das ganze Buch annehmen dürfen.Google Scholar
  285. §18.
    Kugeln stehen zueinander dreimal im Verhältnis ihrer Durchmesser.Google Scholar
  286. Buch XIII behandelt die Konstruktion der regelmäßigen Polyeder. Es wird angegeben, zu welcher Klasse von Irrationalitäten das Verhältnis der Kanten zum Kugeldurchmesser gehört.Google Scholar
  287. Geb. ca. 480 n. Chr. in Askalon (Palästina), besuchte die Schule in Alexandria z. Z. als Ammonios dort Mathematik lehrte, wirkte in Byzanz. E. schrieb Kommentare zu drei Werken des Archimedes (K. u. Z., Kr., Gl. Fl.) [Archimedes Op. Bd. 3] und zu den ersten vier Büchern des Apollonios über Kegelschnitte [Apollonios Op. Bd. 2] [70]. Der Kommentar zu K. u. Z. enthält 12 Lösungsmethoden für die Verdoppelung des Würfels mit Angabe ihrer Erfinder [93], darunter die „Triaden des Menaichmos“[131].Google Scholar
  288. ver Eecke, P.: Introduction á Eutokios. Archives Internationales d’Histoire des Sciences. Jg. 7, 1954, S. 131–132.Google Scholar
  289. Ob sein Name griechischen oder lateinischen Ursprungs ist, ist unsicher, auch Geburtsort und Geburtsdatum sind unsicher. Wahrscheinlich ist G. auf Rhodos geboren, war Schüler von Poseidonios, schrieb seine Werke etwa 73-67 v. Chr. Mit dem Mathematiker, der bei al-Nayrizi „Aganis“genannt wird, ist G. wahrscheinlich nicht identisch [206]. Von seinen Werken ist erhalten:Astr.: Gemini elementa astronomiae. Ed. mit deutscher Übersetzung von K. Manitius. Leipzig: Teubner 1898.Google Scholar
  290. Aus einer mathematischen Enzyklopädie, die nach Eutokios [Komm, zu den Kegelschnitten des Apollonios, Apollonios Op. Bd. 2, S. 170] den Titel „Theorie der Mathematischen Wissenschaften“(τῶv μαϑημάτωv ϑεωv ϑεωρία) hatte, haben Proklos u. A. viel zitiert. Ein Stück über die Gliederung der Mathematik ist bei Heron [Op. Bd. 4, S. 97–108] wiedergegeben.Google Scholar
  291. Ca. 485–380 v.Chr. Einer ber berühmtesten Sophisten; Redner und Lehrer der Rhetorik. 427 war er als Führer einer Gesandtschaft der Leontiner in Athen.-[102].Google Scholar
  292. Gomperz, H.: Sophistik und Rhetorik.Google Scholar
  293. Ca. 560/550–480 v. Chr. Seine Werke sind nur in Fragmenten erhalten.Google Scholar
  294. Erdbeschreibung [161]. (Von Herodot oft benutzt und kritisiert. - Verbesserung der Erdkarte des Anaximander.)Google Scholar
  295. Genealogiai. (Versuch „eine Chronologie zu schaffen, in die sich die gesamte Sagengeschichte einordnen ließ. An dieser übte er eine Art rationalistischer Kritik, indem er „Übertreibungen“reduzierte und Wunderbares und Unglaubliches psychologisch deutete.“[K. von Fritz in LAW].)Google Scholar
  296. Geb. ca. 388 v.Chr. in Herakleia am Pontos, kam vor 364 nach Athen, schloß sich an Speusipp an (den Neffen und Nachfolger Piatons in der Leitung der Akademie), hörte auch Aristoteles. Er „war ein reicher Mann,… hielt auf feine und weiche Kleidung und war überaus stattlich von Figur“[Diog. L. V, Kap. 6, 86–94]. Nach dem Tod von Speusipp kandidierte er für die Leitung der Akademie, unterlag aber knapp dem Xenokrates. Darauf ging er in seine Heimat zu¬rück. Er starb ca. 310.Google Scholar
  297. Diogenes L. schreibt: „Es gibt von ihm ganz hervorragende und treffliche Schriften“, und zwar über sehr verschiedenartige Gegenstände: Ethik, Physik, Astronomie, Grammatik, Musik, Rhetorik, Poetik, Geschichte, „auch über Geometrie und Dialektik“.Google Scholar
  298. H. vertrat die Ansicht, daß die Erde sich täglich einmal um ihre Achse dreht, ferner daß Merkur und Venus um die Sonne kreisen, die Sonne und alle übrigen Planeten um die Erde [151].Google Scholar
  299. Heath: Aristarch, S. 249–283, besonders 252–255.Google Scholar
  300. Ein Teil seiner Lehre wurde hier (im Anschluß an Nietzsche) so interpretiert, daß die Veränderlichkeit des Geschehens von unveränderlichen und zwingenden Naturgesetzen beherrscht wird [74]. - Sonne und Sterne werden täglich neu entzündet [148].Google Scholar
  301. Geb. etwa 484 v. Chr. in Halikarnassos, war verwickelt in die Parteikämpfe der Heimatstadt, wurde verbannt nach Samos, machte Reisen ins Schwarzmeergebiet, nach Thrakien und Makedonien, nach Babylon und nach Ägypten, ging etwa 447 nach Athen, dann 443/2 in die 444 von Perikles gegründete Kolonie Thurioi am Golf von Tarent, erlebte noch den Ausbruch des Peloponnesischen Krieges 430 und starb wahrscheinlich wenig später in Thurioi.Google Scholar
  302. Hist.: Herodot. Historien. Griech.-deutsch hrsg. von J. Feix. 2 Bde. München: Heimeran 1963.Google Scholar
  303. Zur Lebenszeit: In der Dioptra [35] ist eine Mondfinsternis beschrieben, die im Jahre 62 n. Chr. stattgefunden hat.Google Scholar
  304. Seine Werke haben den Charakter von Handbüchern für Techniker; sie benutzen ältere Quellen und sind selbst nicht selten später überarbeitet worden.Google Scholar
  305. Op.: Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia. Leipzig: Teubner.Google Scholar
  306. Bd. 1: Pneumatica et automata. Ed. W. Schmidt 1899.Google Scholar
  307. Bd. 2: Mechanica et catoptrica. Ed. L. Nix, W. Schmidt 1900. ( Die einfachen Maschinen: Hebel, Rolle usw. - In der Catopt. das Reflexionsgesetz und Anwendung von Spiegeln )Google Scholar
  308. Bd. 3: Rationes dimetiendi (= Metrica) et commentatio dioptrica. Ed. H. Schoene 1903. (Regeln zur Berechnung von Flächen, u.a. von regelmäßigen Polygonen [38], Ellipse und Parabel, von Oberflächen von Zylinder, Kegel und Kugel. - Beschreibung der Dioptra, d. i. ein einem Theodoliten ähnliches Vermessungsinstrument, und des älteren Asteriskon (= Groma) [60]; Behandlung von Vermessungsaufgaben [60, 76])Google Scholar
  309. Bd. 4: Definitiones. Heronis quae feruntur Geometrica. Mit Benutzung von Vorarbeiten von W. Schmidt ed. J. L. Heiberg 1912.Google Scholar
  310. Bd. 5: Heronis quae feruntur Stereometrica et de Mensuris. Mit Benutzung von Vorarbeiten von W. Schmidt ed. J. L. Heiberg 1914.Google Scholar
  311. Lit.: A. G. Drachmann: The Mechanical Technology of Greek and Roman Antiquity. Kopenhagen: Munksgaard 1963.zbMATHGoogle Scholar
  312. Um 700 v. Chr., lebte in Askra (Böotien). Werke:Google Scholar
  313. Theogonie. (Götterentstehung). „Eine Entstehungsgeschichte der Welt, in der eine Fülle von teils alten mythischen Überlieferungen, teils mehr theologisch-philosophischen Spekulationen in einen ursprünglich keineswegs gegebenen systematischen, d. h. vor allem genealogischen Zusammenhang gebracht sind.“G. Knebel in LAW. - [161]Google Scholar
  314. Werke und Tage. Enthält u. a. Regeln für die Landarbeit, Vorschriften über die richtige Zeit und Art der Akkerbestellung.Google Scholar
  315. Geb. in Nikaia (Bithynien), führte von 141 bis 126 genaue astronomische Beobachtungen in Rhodos, z.T. auch in Alexandria durch, wozu er auch Instrumente ersann. Von seinen Werken ist nur ein Kommentar zu dem Lehrgedicht „Phainomena“(Himmelserscheinungen) von Aratos (3.Jh. v.Chr.) erhalten. Über seine Leistungen berichtet teilweise Plinius [Nat. Hist. II, 53, 57, 95, 188, 247], vor allem aber Ptolemaios. H. bemerkte die Präzession der Tag- und Nachtgleichen, beobachtete einen neuen Stern (134), stellte einen Fixsternkatalog auf, beschrieb die Bewegungen von Sonne und Mond nach der Exzentertheorie [151]. Die Theorie der (übrigen) Planeten, bei denen Ptolemaios die Epizykel- und Exzentertheorie kombinierte, scheint H. noch nicht ausgearbeitet zu haben. H. teilte als erster den Kreis auf seinen Instrumenten in 360°. Er berechnete eine Sehnentafel, nach Toomer vermutlich mit einer Schrittweite von 71/2° [154].Google Scholar
  316. Heath: Greek Astronomy. London-New York 1932.Google Scholar
  317. Toomer, G. J.: The Chord Table of Hipparchus and the Early History of Greek Trigonometry. Centaurus 18, 1974, S. 6–28.zbMATHMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  318. Seine Lebenszeit wird von van der Waerden [Pyth. S. 74] auf „etwa zwischen 520 und 480“, von K. von Fritz [Ink., Gr. S. 459] auf etwa 450 v. Chr. angesetzt.Google Scholar
  319. H. hat akustische Experimente mit Metallscheiben verschiedener Dicke und mit Vasen, die ganz oder teilweise mit Wasser gefüllt waren, angestellt [Diels 18, 12, 13].Google Scholar
  320. Er hat sich mit der Theorie der Proportionen beschäftigt, dabei u. a. den Namen „harmonisches Mittel“eingeführt.Google Scholar
  321. Iamblichos schreibt [V. P. 247]: „Wie andere behaupten, zürnte die Gottheit denjenigen, welche die Lehren des Pythagoras an die Öffentlichkeit trugen. So sei der Mann wie ein Frevler im Meer ertrunken, der den Aufbau des Körpers mit zwanzig Ecken verriet, die Tatsache, daß der Zwölfflächner - einer der sogenannten fünf Körper - sich einer Kugel einbeschreiben läßt. (In V. P. 88 ist hierfür Hippasos genannt.) Einige sagen auch, ihm sei dies widerfahren, weil er das Geheimnis des Irrationalen und Inkommensurablen verraten habe.“[101]Google Scholar
  322. Wegen der Entdeckung des Inkommensurablen ziehe ich die spätere Datierung der Lebenszeit des H. vor. Zwischen der Lehre des Pythagoras „Alles ist Zahl“und der Entdeckung, daß nicht alles Zahl ist, möchte ich den Pythagoreern etwas Zeit lassen. Die zum Beweis der Inkommensurabilität benötigten Kenntnisse und Methoden, ja dieser Begriff selbst, mußten doch erst erarbeitet werden.Google Scholar
  323. 1.
    Aristoteles schreibt [Metaph. A 3 = 984 a 7]: „Hippasos von Metapont und Heraklit von Ephesos haben das Feuer“als Ursprung der Dinge angesehen. Das läßt darauf schließen, daß Aristoteles den Hippasos als älter oder gleich alt mit Heraklit angesehen hat; aber absolut zwingend ist dieser Schluß wohl nicht.Google Scholar
  324. 2.
    Nach Theon von Smyrna [Diels 18; 13] haben „Lasos von Hermione, wie man sagt, und Hippasos von Metapont“… akustische Versuche mit Vasen durchgeführt. Da Lasos um 520 gelebt hat, würde dieser Satz für die frühe Datierung sprechen, wenn man aus ihm schließt, daß Lasos und Hippasos diese Versuche gemeinsam oder gleichzeitig durchgeführt haben. Aber das steht ja gar nicht da.Google Scholar
  325. Für eine gründliche Diskussion der Argumente verweise ich auf die oben angegebene Literatur.Google Scholar
  326. Um 420 v. Chr. Nach Piaton [Hippias maior, 282 d, e] war er zu gleicher Zeit wie Protagoras in Sizilien, war aber „viel jünger“als dieser. H. unternahm zu Vorträgen und als Gesandter seiner Heimatstadt Reisen durch die ganze griechische Welt, trat bei den Olympischen Spielen im Redewettkampf auf. Seine Vorträge umfaßten alle Gebiete der Bildung und Erziehung; er lehrte (als erster) die Fächer des später sog. Quadriviums: Arithmetik, Astronomie, Geometrie, Musik [Piaton, Protagoras 318 e]. H. leistete die Dreiteilung des Winkels mittels der später (s. Deinostratos) Quadratrix genannten Kurve [Proklos, K. Eukl. S. 65, 271, 356] [91].Google Scholar
  327. Schilderungen bei Piaton in den Dialogen Hippias minor, Hippias maior, Protagoras.Google Scholar
  328. Wirkte in Athen etwa 450–430 v.Chr.Google Scholar
  329. H. führte die Aufgabe der Würfelverdoppelung auf das Einschalten zweier geometrischer Mittel zwischen zwei gegebenen Größen zurück [Eutokios im Komm, zu Archimedes K. u. Z., Archimedes, Op. Bd. 3, S. 88] [2.35], quadrierte von Kreisbögen begrenzte Möndchen [Rudio] [97], schrieb „Elemente“der Geometrie [Proklos, Math. Verz.] [99].Google Scholar
  330. Rudio, F.: Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig: Teubner 1907.zbMATHGoogle Scholar
  331. Becker, O. Hipp.: Zur Textgestaltung des eudemischen Berichts über die Quadratur der Möndchen. Qu. u. St. B 3, 1936, S. 411–419.Google Scholar
  332. Etwa gleichzeitig lebte der Arzt Hippokrates von Kos (geb. 460 v. Chr., gest. in hohem Alter in Larissa).Google Scholar
  333. Tochter von Theon von Alexandria. Philosophin und Mathematikerin, schrieb Kommentare zu Diophant, Apollonios und Ptolemaios, die alle verloren sind. Sie wurde von Christen beschuldigt, den Stadtpräfekten gegen den Bischof Kyrillos aufgewiegelt zu haben, und 415 n.Chr. ermordet.Google Scholar
  334. 2.
    Jh. v.Chr. (vor Hipparch?). Verfasser des sog. Buches XIV der Elemente von Euklid (Sätze über das Ikosaeder und Dodekaeder). Diophant nennt ihn als Autor der Erklärung (Definition) der Polygonalzahlen als Reihen [Polygonalzahlen § 4] [142]. Des H. Schrift Anaphorikos (Aufgang der Sternbilder) ist die erste griechische Schrift, in der die Einteilung des Kreises (der Ekliptik) in 360 Grad angegeben wird [Heath, Gr. M. Bd. 2, S. 214]. Ferner enthält sie Sätze über die Summe arithmetischer Reihen [Neugebauer, MKT Bd. 3, S. 78]. Beziehungen zur babylonischen Astronomie sind wahrscheinlich.Google Scholar
  335. An.: Manitius, K.: Des Hypsikles Schrift Anaphorikos nach Überlieferung und Inhalt kritisch behandelt. Programm des Gymnasiums zum heiligen Kreuz in Dresden. Dresden 1888.Google Scholar
  336. Ca. 250-330 n. Chr. Geb. in Chalkis im südl. Syrien (Koile-Syrien), war Schüler von Porphyrios, Neuplatoniker, gründete eine Schule in Apameia (Syrien). I. schrieb eine Art Enzyklopädie der Pythagoreischen Lehre.Google Scholar
  337. V. P.: Iamblichos: Pythagoras. Legende, Lehre, Lebensgestaltung. Griech. u. deutsch ed. von M. von Albrecht. Zürich und Stuttgart: Artemis Verlag 1963. [80].Google Scholar
  338. Auch: De vita Pythagorica Uber. Ed. L. Deubner. Leipzig: Teubner 1937. Neuauflage, besorgt von U. Klein. Stuttgart 1975.Google Scholar
  339. Protr.: Iamblichi Protreptikos. Ed. H. Pistelli. Leipzig 1888. Math.: Iamblichi de communi mathematica scientia. Ed. N. Festa. Leipzig 1891.Google Scholar
  340. Nik.: Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber. Ed. H. Pistelli. Leipzig 1894. [82].Google Scholar
  341. Theol. Ar.: Theologumena arithmeticae. Ed. V. de Falco. Leipzig: Teubner 1922.Google Scholar
  342. Bab.: Iamblichi Babyloniacorum Reliquiae. Ed. E. Habrich. Leipzig: Teubner 1960.Google Scholar
  343. Römischer Feldmesser, wohl 2. Jh. n. Chr.Google Scholar
  344. Fluminis varatio. Übermessung eines Flusses [77], in Blume… (s. unter Agrimensoren) Bd. 1, S. 285f.; Erläuterung: Bd. 2, S. 340. Zuweisung unsicher.Google Scholar
  345. 1.
    Jh. v.Chr.? K. benutzt und zitiert Poseidonios (135–51 v.Chr.), lebte also später als dieser. Er nennt Ptolemaios nicht; danach läßt sich vermuten, daß er früher als Ptolemaios lebte. Vielleicht war er Schüler von Poseidonios.Google Scholar
  346. Sein Werk enthält Berichte über die Erdmessung des Eratosthenes und eine ähnliche des Poseidonios [148].Google Scholar
  347. M. C.: Cleomedis de motu circulari corporum caelestium libri duo. Ed. mit lat. Übers. Hermann Ziegler, Leipzig 1891.Google Scholar
  348. M. C. d.: Kleomedes. Die Kreisbewegung der Gestirne. Deutsch von A. Czwalina. Leipzig 1927. Ostwalds Klass. Nr. 220.Google Scholar
  349. Geb. ca. 800 n. Chr. in Hypate (Thessalien). Philosoph und Mathematiker in Byzanz, Prof. am Madaurapalast. Neubegründer und Leiter der Bardas-Universität (863). Man verdankt L. die besten Handschriften der griechischen mathematischen Klassiker. - Bei arithmetischen Sätzen verwendet er Buchstaben als Variable für Zahlen, nicht in ihrer Bedeutung als bestimmte Zahlen. Vorlesungsnotizen sind wiedergegeben in Euklid Op. Bd. 5, S. 714–718. - [K. Vogel im LAW].Google Scholar
  350. Mitte des 5.Jh. v.Chr., aus Milet. Begründer des Atomismus [88, 158]Google Scholar
  351. Um 360 v. Chr. Schüler des Eudoxos von Knidos. Löste die Aufgabe der Verdoppelung des Würfels durch Schnitt zweier Kegelschnitte [93].Google Scholar
  352. Mathematiker und Astronom. Zur Lebenszeit: Ptolemaios berichtet von zwei astronomischen Beobachtungen, die M. im ersten Jahr Trajans (98 n. Chr.) in Rom gemacht hat [Alm. VII, Kap. 3. Alm. d., Bd. 2, S. 26 und 28]. Drei Bücher Sphaerica (Kugelgeometrie, sphärische Trigonometrie) sind arabisch erhalten, andere Schriften verloren.Google Scholar
  353. A.Björnbo: Studien über Menelaos’ Sphärik. Abhandlungen zur Gesch. d. math. Wissenschaften, Heft 14, 1902.Google Scholar
  354. Krause, M.: Die Sphärik von Menelaos aus Alexandrien in der Verbesserung von Abü Nasr Mansur b. ‘Ali b.’Iräq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern. Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Phil.- Hist. Klasse, 3. Ser., Nr. 17, 1936.Google Scholar
  355. Heath, Gr. M. Bd. 2, S. 260–273.Google Scholar
  356. Wahrscheinlich Gerasa östl. des Jordans). Um 100 n.Chr. Seine Arithmetik enthält pythagoreisches Gedankengut. Sie wurde von Apuleius (123 - nach 170 n.Chr.) und von Boetius ins Lateinische übersetzt und wurde dadurch zur Grundlage des mittelalterlichen Universitätsunterichts in Arithmetik.Google Scholar
  357. Ar.: Nicomachi Geraseni Pythagorei introductionis arithmeticae libri II. Ed. R. Hoche, Leipzig: Teubner 1866.Google Scholar
  358. Ar. e.: Nicomachus, Introduction to Arithmetic, translated by M. L. d’Ooge. New York: Macmillan 1926. Nachdruck New York: Johnson Reprint Corporation 1972 [81, 182].Google Scholar
  359. Harm.: Encheiridion Harmonices. (Handbuch der Harmonielehre.)Google Scholar
  360. Theol. Ar.: Theologumena arithmeticae, ed. F. Ast. Leipzig 1817. Dieses Werk wird heute Iamblichos zugeschrieben, enthält aber Material von Nikomachos.Google Scholar
  361. Um 440 v. Chr. Nach Proklos [K. Eukl., Math. Verz.] war er „wenig jünger als Anaxagoras“.Google Scholar
  362. Proklos nennt ihn bei den Aufgaben, auf eine Gerade ein Lot zu fällen [zu Prop. 12], hier [89], und an eine Strecke einen Winkel anzutragen [Prop. 23]. Nach Eudemos, zitiert von Theon von Smyrna [Diels 41; 7] soll er die Schiefe der Ekliptik „gefunden“ haben [148]. O. gab das „Große Jahr“(bestimmt durch volle Umläufe von Sonne und Mond) zu 59 Jahren an [Diels 41; 9].Google Scholar
  363. Frajese, A.: II cerchio nelle geometría di Enopide di Chio. Archimede, 1967, fasc. 6, ed. Le Monnier, Firenze, S. 285–294.Google Scholar
  364. Aus Epidaurus. Schriftstellerin z. Z. des Kaisers Nero. Diogenes Laertius nennt sie für den Satz des Thaies [75].Google Scholar
  365. Zur Lebenszeit: Im Kommentar zum Almagest berechnet P. eine Finsternis desGoogle Scholar
  366. Jahres 320 n.Chr.Google Scholar
  367. Coll.: Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt ed. F. Hultsch. Griech. u. lat. 3 Bde. Berlin 1875–1878. Nachdruck Amsterdam: Hakkert 1965. Buch I ist verloren, II teilweise, III-VIII vollständig erhalten. P. berichtet über ältere Ergebnisse, bringt Hilfssätze zum besseren Verständnis und eigene Ergänzungen.Google Scholar
  368. Coll. f.: Pappus d’Alexandrie. La collection mathématique. Franz. Übers, und Komm, von P. ver Eecke. 2 Bde. Paris, Brügge 1933.Google Scholar
  369. Coll, d.: Die Sammlung des Pappus von Alexandrien. (Buch VII und VIII ). Griech. Und deutsch hrsg. von C. J. Gerhardt. Halle 1871.Google Scholar
  370. K. Alm.: Kommentar zu Ptolemaios’ Almagest. Ed. A. Rome. Rom 1931.Google Scholar
  371. K. El. X.: Kommentar zu Euklid, Elemente X.Google Scholar
  372. W): arab. von al-Dimisql, ed. F. Woepcke, Paris 1855,Google Scholar
  373. S): deutsch von H. Suter, Abh. zur Gesch. der Naturwiss., Heft 4, S. 9–78, Erlangen 1922.Google Scholar
  374. TH): arabisch und englisch von William Thomson, mit Erläuterungen von G. Junge und W. Thomson. Cambridge: Harvard Univ. Press 1930.Google Scholar
  375. Quadratrix [91], Neusis [92], Spirale [121], Geschichte der Kegelschnitte [130], Konstruktion des geom. und harm. Mittels [137], Invarianz des Doppelverhältnisses [139], Satz von Pappos-Pascal [140].Google Scholar
  376. Ca. 515–445 v.Chr. Zur Lebenszeit: Piaton erzählt [Parmenides 127a-c], P. sei im Alter von etwa 65 Jahren beim Panathenäenfest in Athen gewesen, gemeinsam mit Zenon, der damals ungefähr 40 Jahre alt war; Sokrates sei damals noch sehr jung gewesen.Google Scholar
  377. P. lehrte, „daß es das Nichtseiende auf keine Weise geben kann und daß es daher weder ein Werden noch ein Vergehen noch überhaupt eine Bewegung geben kann.… Die philosophischen Systeme der Folgezeit… sind alle Versuche, das durch die Argumente des P. gestellte Problem der Möglichkeit der Vielheit, des Werdens und Vergehens, sowie der Bewegung, zu lösen“[K. von Fritz im LAW] [86, 158, 162]. - Einheit [82].Google Scholar
  378. Pythagoreer, lebte später in Tarent. Nach Diog. L. VIII, 84 hat Piaton Bücher über die pythagoreische Lehre von ihm gekauft; das müßte 388 v.Chr. gewesen sein. Wenn P. einer der beiden jungen Männer war, die sich aus dem Brandanschlag 445 retten konnten (s. Pythagoreer), so könnte er etwa 465/460–385 v. Chr. gelebt haben.Google Scholar
  379. P. setzte das Feuer (als das vornehmste Element) in den Mittelpunkt der Welt; die Erde sowie eine Gegenerde und die Planeten (einschl. Sonne und Mond) kreisen um dieses Zentralfeuer. [Diels 44 A 16, 17, 21], [150].Google Scholar
  380. Geb. wahrscheinlich in Alexandria am Ende des 5. Jh. n.Chr. Schüler des Ammonios Hermeiou. Seine Aristoteleskommentare sind „weiter ausgebaute und mit eigenen Zusätzen und Exkursen versehene Skripten, die er nach den Vorlesungen des Ammonios angefertigt hatte“[Böhm, S. 28] [95]. Besonders gegenüber den physikalischen Vorstellungen von Aristoteles ist P. sehr kritisch und selbständig. - [160]. - P. war Christ. - Sein Kommentar zur Meteorologie des Aristoteles ist nach 529 verfaßt.Google Scholar
  381. Böhm, Walter: Johannes Philoponos. Ausgewählte Schriften. Übersetzt, eingeleitet und kommentiert. München, Paderborn, Wien: Schöningh Verlag 1967.Google Scholar
  382. Geb. 427 v. Chr. in Athen; hatte etwa seit etwa 407 Umgang mit Sokrates. Nach dessen Verurteilung soll P. sich zu dem Philosophen Euklid, der auch Schüler von Sokrates war, nach Megara begeben haben. Bezeugt sind Reisen nach Unteritalien und Sizilien 388/387, nach Syrakus 367–365 und 361–360. P. starb in Athen 348/347. P. hat wahrscheinlich zwischen 387 und 367 die Akademie gegründet; sie wurde 529 vom Kaiser Justinian aufgelöst.Google Scholar
  383. Op.: Platonis Opera, ed. J. Burnet, 5 Bde. Oxford 1900–1907. Mehrfach nachgedruckt. Zitiert werden, wie es allgemein üblich ist, die Seiten und Abschnitte der Ausgabe von Henricus Stephanus, Paris 1578, die in den meisten neueren Ausgaben angegeben sind. [70], - P. über Thaies [72], Tadel mechanischer Würfel Verdoppelung [89], Gerade und Kreis als Grundformen [88, 109], Verdoppelung des Quadrats [91], Inkommensurabilität [100], Momente der Erkenntnis [104], Definitionen allgemein [105], Kreis [104], Grenze [107], Einheit [109], Gerade [109], Kreisbewegung der Sterne [150], Elemente = regelmäßige Körper [159].Google Scholar
  384. C. Plinius Secundus der Ältere (gegenüber seinem Neffen und Adoptivsohn gleichen Namens). Geb. 23/24 n.Chr. in Novum Comum (Como am Corner See), kam früh nach Rom, diente 47-52 als Offizier in Germanien, kehrte 52 nach Rom zurück, war wahrscheinlich Anwalt, trieb rhetorische und grammatische Studien, setzte später seine militärische Laufbahn fort. „Sein letzter Posten war das Kommando über die kaiserliche Flotte in Misenum. Dort fand er beim Ausbruch des Vesuvs am 25. August 79 den Tod, als ihn wissenschaftliche Interessen und das Verlangen, in der allgemeinen Verwirrung hilfreich einzugreifen, in die Nähe des Vulkans trieben. Als Todesursache ist Herzschlag infolge Herzverkalkung anzunehmen, da der starke Asthmatiker den Anstrengungen und Aufregungen in Zusammenhang mit der Katastrophe physisch nicht gewachsen war“. [Winkler in Nat. Hist. Bd. 1, S. 322–325]. Sein Werk Nat. Hist. war eine der wichtigsten Quellen für die Naturwissenschaft des Mittelalters. P. schreibt in der Praefatio [I, 17]: „Zwanzigtausend der Behandlung werte Gegenstände… habe ich aus der Lektüre von ungefähr 2 000 Büchern… zusammengefaßt“. - [166].Google Scholar
  385. Nat. Hist.: C. Plinii Secundi Naturalis Historiae libri XXXVII C. Plinius Secundus d. Ä. Naturkunde. Lat. deutsch, hrsg. und übers, von Roderich König in Zusammenarbeit mit Gerhard Winkler. Heimeran Verlag, seit 1973.Google Scholar
  386. Geb. 45/50 n. Chr. in Chaironeia (Böotien), studierte in Athen, schloß sich der Akademie an, machte Reisen, wahrscheinlich nach Sardes und Alexandria, sicher nach Italien und Rom, kehrte schließlich nach Chaironeia zurück, starb dort bald nach 120 n.Chr.Google Scholar
  387. B. p.: Bioi paralleloi. 24 Biographienpaare von je einem Griechen und Römer. - Griech. Mit engl. Übersetzung von B. Perrin in Loeb Classical Library. 6 Bde. London 1914–1918.Google Scholar
  388. B. p. d.: Plutarch: Große Griechen und Römer. Eingel. und übers, von Konrat Ziegler. Zürich, Stuttgart: Artemis-Verlag. In Bd. 3,1955 steht die Biographie von Marcellus mit einem Bericht über Archimedes.Google Scholar
  389. L.: De facie in orbe lunae. - Benutzte deutsche Übersetzung: Plutarch, Das Mondgesicht, übers, und erläutert von Herwig Görgemanns. Zürich: Artemis-Verlag 1968. ( Reihe: Lebendige Antike).Google Scholar
  390. M.: Moralia. (Sammlung von etwa 80 Schriften).Google Scholar
  391. Geb. 233 n.Chr. in Batanea (Palästina) oder Tyrus, kam 264 nach Rom und blieb dort bis zu seinem Tod ca. 304 n. Chr. P. schrieb Kommentare zu Plotin, zu Ptolemaios’ Musik, eine Einführung zu Aristoteles’ Kategorien; diese wurde durch die lat. Übersetzung von Boetius für das Mittelalter eine wichtige Einführung in die Logik (Baum des Porphyrios [106]). Ferner schrieb P. Biographien von Plotin und Pythagoras. - Einer seiner Schüler war Iamblichos.Google Scholar
  392. Geb. ca. 135 v.Chr. in Apameia am Orontes (Syrien). Stoiker. Studierte in Athen, ließ sich in Rhodos nieder, machte Reisen nach Spanien, Südgallien, Italien, Sizilien und mehrmals nach Rom. Cicero, Pompeius und andere Römer haben ihn in Rhodos besucht. Einer seiner Schüler war Geminos. P. starb wahrscheinlich auf einer Reise nach Rom 51 v.Chr.Google Scholar
  393. Nach Proklos [K. Eukl., zu Def. 35] definierte er parallele Geraden als Geraden gleichen Abstands [204].Google Scholar
  394. Geb. 410/411 n.Chr. in Byzanz, aufgewachsen in Xanthos (Lykien), studierte in Alexandria und Athen, wurde Haupt der Platonischen Akademie. Einer seiner Schüler war Ammonios. P. starb am 17. 4. 485.Google Scholar
  395. Er schrieb Kommentare zu Hesiod, Piaton, Aristoteles, zum I. Buch von Euklids Elementen und zum Tetrabiblos, dem astrologischen Werk von Ptolemaios.Google Scholar
  396. Sein Euklid-Kommentar enthält viele historische Nachrichten, gestützt insbesondere auf die Werke von Eudemos und Geminos. Er wurde zuerst gedruckt in der griechischen Euklid-Ausgabe von Grynaeus, Basel 1533, in lateinischer Übersetzung von Barocius, Padua 1560, und in der Euklid-Ausgabe von Commandino, Pesaro 1572.Google Scholar
  397. K. Eukl.: Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum Commentarii. Ed. G. Friedlein. Leipzig: Teubner 1873.Google Scholar
  398. Ich zitiere nach dieser heute maßgebenden Ausgabe, für die Textwiedergabe benutze ich die deutsche Übersetzung.Google Scholar
  399. K. Eukl. d.: Proclus Diadochus, Kommentar zum ersten Buch von Euklids „Elementen“. Übersetzt von P. L. Schönberger, O. S. B., eingeleitet und hrsg. von M. Steck. Halle 1945.Google Scholar
  400. Friedlein: 1 100 150 200 250 300 350 400Google Scholar
  401. deutsch: 163 235 271 307 341 375 408 445Google Scholar
  402. K. Eukl. e.: Proklos: A Commentary of the First Book of Euclid’s Elements, translated with Introduction and Notes by G. R. Morrow. Princeton: University Press 1970.Google Scholar
  403. K. Eukl. f.: Proclus de Lycie. Les commentaires sur le premier livre des éléments d’Euclide. Ed. P. ver Eecke. Brügge 1948. [70] - Über Thaies [76], über den Satz des Pythagoras [80], Definition des Punktes [82], Oinopides [89], zur Kreisquadratur [95], Zwischenwertsatz [96], Spirale zur Winkeldreiteilung [121], Flächenanlegung [88], Fünfzehneck [148], zum Parallelenpostulat [206].Google Scholar
  404. Das sog. Mathematikerverzeichnis [K. Eukl. S. 64–69] sei hier in der Übersetzung von P. Schönberger wiedergegeben [K. Eukl. d., S. 210–214]. Ob und wie weit es auf Eudemos zurückgeht, ist nicht sicher. Jedenfalls konnte Eudemos nicht über Euklid, Eratosthenes und Archimedes berichten. Für die Nachrichten über Pythagoras kommt auch Iamblichos als Quelle in Frage.Google Scholar
  405. Geb. etwa 480 v. Chr. in Abdera.Google Scholar
  406. P. war der Begründer des sophistischen Lebensstils: er machte Vortragsreisen, hielt Lehrkurse gegen Honorar, auch in Athen, oft als Gast reicher bildungsbeflissener Häuser. Er soll auf einer Fahrt nach Sizilien bei einem Schiffbruch umgekommen sein, 411 v.Chr. - [103].Google Scholar
  407. Platon Theaitetos 152a: „Aller Dinge Maß ist der Mensch, der seienden, daß (wie) sie sind, der nichtseienden, daß (wie) sie nicht sind.“Diog. L. IX, 51: „Er sagte als Erster, über jede Sache gebe es zwei einander entgegengesetzte Aussagen“(λόγονςGoogle Scholar
  408. Ansichten, Überlegungen; jedes Ding kann von zwei Seiten betrachtet werden)).Google Scholar
  409. Aristoteles Metaph. II, 2, 997b 35–998a 4: „Die sichtbaren Linien sind gar nicht so wie der Geometer sagt; weder ist etwas so (d.h. im Sinne des Geometers) gerade, noch so gekrümmt; der Kreis berührt die Gerade nicht in einem Punkte, sondern so wie Protagoras zeigte…“Google Scholar
  410. Ca. 100–170 n.Chr., lebte in Alexandria. Im Almagest finden sich Beobachtungen aus den Jahren 127–141; das ist der einzige sichere Anhaltspunkt für seine Lebenszeit. Der Almagest ist das älteste der größeren Werke des P.; in den anderen Werken wird auf ihn Bezug genommen.Google Scholar
  411. Ptolemaios, Klaudios. Op.: Claudii Ptolemaei Opera quae exstant omnia. Leipzig. Bd. 1. Syntaxis mathematica. Ed. J. L. Heiberg. 2 Teile 1898, 1903. Griech. Titel: Mαϑηματική σύvταξις später Mεγάλη σ. oder Mεγίστη σ., arabisch: al-migisti (al-Haggäg [197]); daraus wurde „Almagest“. Bd. 2. Opera astronomica minora. Ed. J. L. Heiberg. 1907.Google Scholar
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  415. Ptolemaios, Klaudios. Alm. f.: Composition Mathématique de Claude Ptolémée. Frz. von M. Halma. Paris. Bd. 1: 1813, Bd. 2: 1816.Google Scholar
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  417. Ptolemaios, Klaudios. An.: Analemma. In Op. Bd. 2. (Erklärung eines Verfahrens zur Bestimmung der Winkel bei der Sonnenuhr.)Google Scholar
  418. Ptolemaios, Klaudios. Pl.: Planisphaerium. In Op. Bd. 2. (Projektion der Himmelskugel vom Himmelssüdpol auf die Äquatorebene.)Google Scholar
  419. Ptolemaios, Klaudios. Tb.: Tetrabiblos = Op. Bd. 3, 1.Google Scholar
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Mathematik im Orient

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  36. Schrieb im Alter von 30 Jahren: Brähmasputasiddhänta [189ff.]. Englische Übersetzung der mathematischen Teile bei Colebrooke.Google Scholar
  37. Mahävira, wirkte in Mysore, schrieb um 850 Ganita-särasamgraha [192].Google Scholar
  38. Prthudakasvämin, schrieb ca. 864 einen Kommentar zu Brahmagupta. Pätiganita, und ein kürzeres: Trisatikä [192]. Ein weiteres über Algebra ist bei Bhäskara II er-wähnt.Google Scholar
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  40. Äryabhata II, zwischen 950 und 1100, schrieb einen Kommentar zu Äryabhata I.Google Scholar
  41. al-Birüni, geb. 973 in Kath (Choresmien), gest. 1051 (?) in Ghazna; war bei den Eroberungszügen des Sultans Mahmüd von Gazna (1001–1026) in dessen Gefolge in Indien und schrieb ein großes Werk darüber [192]: Alberuni’s India. An account of the religion, philosophy, literature, geography, chronology, astronomy, customs, laws and astrology of India about A. D. 1030. Ed. E. C. Sachau, London 1887. Nachdrucke: London 1910, New Delhi 1964.Google Scholar
  42. Sripati, wirkte etwa 1039–1056 in Rohinikhanda, Mahärästra; schrieb über Astronomie, Astrologie und Mathematik, u. a. Ganitatilaka, offenbar unter Benutzung der Werke von Sridhara [192].Google Scholar
  43. Bhäskara II, geb. 1114 in Bijapur (Karnata), schrieb 1150 Siddhäntasiromani. Die mathematischen Teile, Lilävati und Bijaganita wurden von Colebrooke ins Englische übersetzt. Satz des Pythagoras [34], [194].Google Scholar
  44. Das Bakhshäli-Manuskript, ein auf Birkenrinde geschriebenes Rechenbuch, wurde 1881 in der Nähe des Dorfes Bakhshäli bei Peschawar in Nordwestindien gefunden. Es wird datiert von Kaye: wahrscheinlich 12.Jh. n.Chr. von Datta/Singh: ca. 200 n.Chr. von Sen: 3./4.Jh. n.Chr.Google Scholar
  45. Da es das vollständige indische Zahlensystem enthält, fällt es mir schwer zu glauben, daß es vor Äryabhata entstanden sein könnte, der ein viel komplizierteres System der Zahlendarstellung entwickelt hat. Edition des Bakhshäli-Manuskripts: G. R. Kaye, Kalkutta 1927.Google Scholar
  46. 4.3.3 Mathematik in den Ländern des IslamGoogle Scholar
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  58. 1.
    al-Fazäri Ibrähim ibn Habib, gest. ca. 777. Astronom in Bagdad, soll als Erster Astrolabe konstruiert haben. [197]Google Scholar
  59. 2.
    Muhammad ibn Ibrähim al-Fazäri Sohn des Vorigen, gest. 796/806. Übersetzte auf Veranlassung von al-Mansür einen Siddhänta (den Brähmasphuta-Siddhänta des Brahmagupta ?) 772/3 [196].Google Scholar
  60. 3.
    Gabir ibn Haiyan, wirkte um 776 in Küfä, im Mittelalter als Alchemist Geber bekannt.Google Scholar
  61. 4.
    al-Hağğäğ (8./9.Jh.) al-Haggäg ibn Yüsuf ibn Matar. Übersetzte Euklids Elemente einmal z. Z. von Härün al-Rashld und einmal zur Zeit von al-Mamün, ferner 829/830 den Almagest, aus dem Syrischen [197].Google Scholar
  62. 5.
    al-Hwärizmi Abü Abdalläh Mohammed ibn Müsä al-HwärizmiGoogle Scholar
  63. geb. ca. 780 in Hwärizm, heute Khiva südl. des Aralsees, wirkte unter al- Ma’mün in Bagdad, starb ca. 850.Google Scholar
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  65. Mohammed ibn Musa Alchwarizmi’s Algorismus. Nach der einzigen (lateinischen) Handschrift in Faksimile mit Transkription und Komm, herausgeg. von K. Vogel. Aalen: Zeller 1963.Google Scholar
  66. Alg.: Al-kitab al-muhtasar fi hisäb al-gabr wa’l-muqäbala Ein kurzgefaßtes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen. - [197 ff.].Google Scholar
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  68. Libri: Lat. Übers, von Gerhard von Cremona in Libri, Histoire des Sciences Mathématiques en Italie, Bd. 1, Note 12, S. 253–297. Paris 1838.Google Scholar
  69. Karp.: Robert of Chester’s Latin Translation of the Algebra of al-Khowarizmi. Mit engl. Übers., ed. L. Ch. Karpinski, New York 1915.Google Scholar
  70. Lit. dazu: J. Ruska: Zur ältesten arabischen Algebra und Rechenkunst. Heidelberg 1917. (Sitzungsber. d. Heidelb. Akad. d. Wiss., Phil.-hist. Kl. Jg. 1917, Abh. 2)Google Scholar
  71. Das Kapitel Geometrie ist wiedergegeben in S. Gandz: The Mishnat ha Middot. Qu. u. St. A, Bd. 2. 1932.Google Scholar
  72. al-Hwärizmi verfaßte auch astronomische Schriften und Tafeln sowie einen Auszug aus der Geographie des Ptolemaios.Google Scholar
  73. 6.
    al-Gauhari al-fAbbäs ibn Sa’Id al-Gauhari,Google Scholar
  74. war einer der Astronomen im Dienste von al-Ma’mün, nahm teil an astronomischen Beobachtungen in Bagdad 829–830 und in Damaskus 832-833. Er schrieb einen Kommentar zu Euklids Elementen, mit Zusätzen. Daraus zitiert al-Tüsi sechs Sätze, die das Parallelenpostulat betreffen [208].Google Scholar
  75. 7.
    al-Fargäni Abü-l-fAbbäs Ahmad ibn Muhammad ibn Katir al-Fargäni, im Abendland bekannt als Alfraganus. Geb. in Fargänä, Transoxanien, gest. in Ägypten nach 861. Astronom im Dienste von al-Ma’mün, beteiligt an einem mißglückten Kanalbau unter al-Mutawakkil. Der Anfang des Kanals lag zu tief, so daß der Kanal nur bei hohem Stand des Tigris genügend Wasser führte. Anscheinend starb der Kalif, bevor der Fehler entdeckt wurde.Google Scholar
  76. 8.
    al-Kindi Abü Yüsuf Ya’qüb ibn Ishäq ibn al-Sabbäh al-Kindi, geb. in Basra Anf. d. 9. Jh., wirkte in Bagdad unter al-Ma’mün und al-Mutawakkil, starb ca. 873. Philosoph, vielseitiger Gelehrter. Rescher, N.: Al-Kindi. An Annotated Bibliography. Pittsburg 1964. Mathematisch-naturwissenschaftlich bemerkenswert: Al-Kindi’s Epistle on the Finitude of the Universe. Ed. N. Rescher und Haig Khatchadourian. Isis 56, 1965, S. 426–433 (englisch).Google Scholar
  77. 9.
    Banü Müsä Drei Söhne von Müsä ibn Säkir, der z. Z. von al-Ma’mün starb. Der Älteste, Muhammed, starb etwa 872/3. - [197].Google Scholar
  78. Ahmad beschäftigte sich mit Mechanik, Hasan mit Geometrie. The verba filiorum of the Banü Müsä. Lat. Übersetzung von Gerhard von Cremona mit engl. Übersetzung in M. Clagett: Archimedes in the Middle Ages. Vol. I. The Arabo-Latin Tradition. Madison: The University of Wisconsin Press 1964. (Kap. 4, S. 223-367). H. Suter: Über die Geometrie der Söhne des Müsä ben Schäkir. Bibl. Math. (3), 3, 1902, S. 259 - 272.Google Scholar
  79. Kitäb al hijal: F. Hauser: Über das kitäb al hijal - das Werk über die sinnreichen Anordnungen - der Benü Müsä. Abh. z. Gesch. d. Naturw. u. d. Medizin, Heft 1, Erlangen 1922. ( Spielerische Automaten in der Art von Heron. )Google Scholar
  80. Die Banü Müsä bemühten sich um den Erwerb griechischer Handschriften und veranlaßten oder förderten die Übersetzertätigkeit von Hunain ibn Ishäq, Täbit ibn Qurra u. a.Google Scholar
  81. 10.
    Hunain ibn IshäqGoogle Scholar
  82. Abü Zaid Hunain ibn Ishäq al-’Ibädi (fIbäd ist der Name eines christlichen Araberstammes, der in der Nähe von Hira ansässig war), geb. in HTra 809/810, wirkte in Jundishäpür, dann in Bagdad, starb 873. Nestorianer. Er übersetzte hauptsächlich medizinische Schriften.Google Scholar
  83. 11.
    Ishäq ibn HunainGoogle Scholar
  84. Abu Ya’qüb Ishäq ibn Hunain ibn Ishäq al-’Ibädi Sohn des Vorigen. Geb. 830. Starb in Bagdad 910/911. Übersetzte Aristoteles, Euklid, Ptolemaios, Menelaos, Archimedes, Hypsikles u. a. Einige dieser Übersetzungen wurden von Täbit ibn Qurra überarbeitet, so z. B. die Übersetzung der Elemente Euklids, die für die weitere Überlieferung wichtig wurde [197].Google Scholar
  85. 12.
    Täbit ibn Qurra Abu-l-Hasan Täbit ibn Qurra ibn Marwän al-Harräni, geb. 826/827 in Harrän (Mesopotamien), wurde von Mohammed ibn Müsä ibn Saklr nach Bagdad eingeladen, Übersetzte Werke von Archimedes, die Kegelschnitte des Apollonios u.a. [3.38], schrieb Kommentare zu Euklids Elementen und zu Ptolemaios’ Almagest und eigene Arbeiten über Mathematik, Astronomie und Physik. Er starb 901.Google Scholar
  86. Zwei Beweise des Parallelenpostulats [210]: Sabra T.Google Scholar
  87. Suter, H.: Über die Ausmessung der Parabel von Thäbit. Sitzungsber. d. physik. mediz. Sozietät Erlangen, 48, 1918, 65–86.Google Scholar
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  90. Weidemann, E.: Die Schrift ütfer den Qarastün. Bibl. Math. (3) 12, 1912, S. 21–39. (Diese Schrift über das Hebelgesetz geht wahrscheinlich auf griechische Quellen zurück. Lateinische Bearbeitungen waren im Mittelalter verbreitet.)Google Scholar
  91. Lat. und engl, in: E. A. Moody and M. Clagett: Medieval Science of Weight. Madison 1952. Teilweise referiert in M. Clagett: The Science of Mechanics in the Middle Ages. Madison: Univ. of Wisconsin Press 1961.Google Scholar
  92. 13.
    Ahmad ibn Yüsuf Abü Ga’far Ahmad ibn Yüsuf ibn Ibrähim ibn al-Däya al-Misri d. h. der Ägypter. Gest. ca. 912.Google Scholar
  93. Sein Werk „De proportione et proportionalitate“beeinflußte Leonardo von Pisa und Jordanus Nemorarius.Google Scholar
  94. 14.
    Qustä ibn Lüqä Qustä ibn Lüqä al-Ba’labakki, d. h. aus Baalbek (Syrien), ein Christ griechi¬scher Herkunft; der Name Qustä ist vielleicht eine syrische Abwandlung von Constans oder Constantinus. Er wirkte in Bagdad. Zahlreiche Übersetzungen, u. a. von Diophant und Heron wurden von ihm oder unter seiner Leitung angefertigt [197]. Er schrieb Kommentare zu Euklid und ein Werk über das kugelförmige Astrolab. Er starb ca. 912.Google Scholar
  95. 15.
    al-Nayrizi Abü al-fAbbas al-Fadl ibn Hätim al-Nayrizi, d. h. aus Nayriz bei Shiraz. Lat.: Anaritius. Gest. ca. 922. Er schrieb außer astronomischen Werken und Tafeln einen Kommentar zu Euklids Elementen [197], der von Gerhard von Cremona ins Lateinische übersetzt wurde. Besonders wichtig ist darin die Besprechung des Parallelenpostulats [206].Google Scholar
  96. Anaritii in decem libros priores Elementorum Euclidis commentarii ex interpretatione Gherardi Cremonensis. Ed. M. Curtze. Leipzig: Teubner 1899.Google Scholar
  97. 16.
    Abü Kämil Sugä’ ibn Aslam ibn Muhammad ibn Sugä’ Abü Kämil al-Hasib, auch: al- Misri, d. h. aus Ägypten. Lebte ca. 850–930. Seine Algebra wurde von al-Karagi und von Leonardo von Pisa benutzt.Google Scholar
  98. Alg.: Kitäb fi al-gabr wa’l-muqäbala. The Algebra of Abü Kämil. Komm. Mordecai Finci. Hebr. Text u. engl. Übers., ed. M. Levey. Madison 1966. The Algebra of Abu Kamil Shoja’ ben Aslam. Ausz. einer lat. Übers, mit Komm. Ed. L. C. Karpinski. Bibl. Math. (3), 12, 1911/12, S. 40–55.Google Scholar
  99. S.: Das Buch der Seltenheiten der Rechenkunst von Abü Kämil el-Misri. Deutsche Übers, u. Komm., ed. H. Suter. Bibl. Math. (3), 11, 1910/11, S. 100–120. (Darin das Problem der 100 Vögel [181].)Google Scholar
  100. F. u. Z.: Suter, H.: Die Abhandlung über das Fünfeck und das Zehneck. Bibl. Math. (3), 10, 1910, S. 15–42.Google Scholar
  101. 17.
    al-FäräblGoogle Scholar
  102. Abü Nasr Muhammad ibn Muhammad ihn Tarhän ibn Uzlagh al-Färäbi, geb. in Wasïj bei Färäb (Turkestan), studierte in Bagdad, lebte meist in Aleppo, starb in Damaskus 950/1. Neuplatoniker, Enzyklopädist. - Eine seiner Schriften: Ihsa al-’Ulüm. Aufzählung der Wissenschaften.Google Scholar
  103. Sie wurde von Gerhard von Cremona ins Lat. übersetzt. Deutsche Übersetzung der Einleitung und der Beschreibung der mathematischen WissenschaftenGoogle Scholar
  104. Wiedemann, E.: Über al-Färäbis Aufzählung der Wissenschaften. Sitzungsber. der physik. mediz. Sozietät in Erlangen 39, 1907, S. 74–101.Google Scholar
  105. 18.
    Abü-l-Wäfä’ Muhammad ibn Muhammad ibn Yahyä Abü-l-Wäfä’ al-Büzagäni, geb. 940 in Büzagän (in Huräsän, jetzt im Iran), arbeitete an dem mathematisch-astrono-mischen Institut in Bagdad, starb 997/8.Google Scholar
  106. Ar.: Kitäb al-Manäzil fimä yahtägu ilaihi 1-kuttäb wa-l-’ummäl min film al-hisäb: Schrift der Stufenfolge über das, was die Schreiber und Sekretäre von der Arithmetik benötigen. Arabisch ediert von Ahmad Sa’ïdân in:’Ilm al-hisäb al-’arabl,’Ammän 1971, S. 64–368. Inhaltsangabe: A. S. Saidan: The Arithmetic of Abü’l-Wafä’. Isis 65, 1974, S. 367–375. Besprochen (russisch) von M. I. Medovoy in Istoriko-matematicheskie issledovanija 11, 1958 (Auftreten negativer Zahlen) und 13, 1960.Google Scholar
  107. Geom.: Kitäb fimä yahtägu ilaihi s-säni’ min a’mäl al-handasa.Google Scholar
  108. Buch über das, was der Handwerker an geometrischen Konstruktionen benötigt. Teile einer wahrscheinlich von einem Schüler verfaßten Bearbeitung in deutscher Übersetzung:Google Scholar
  109. Geom. d.: H. Suter: Das Buch der geometrischen Konstruktionen des Abu’l Wefâ. - Abh. zur Gesch. der Naturw. und der Medizin. Erlangen. Heft 4, 1922, S. 94–109. (Inhalt: Grundkonstruktionen. Konstruktionen regelmäßiger Polygone [200] und ihrer ein- und umbeschriebenen Kreise. Konstruktionen von Figuren in Figuren, z. B.: In ein Quadrat ein gleichseitiges Dreieck einzubeschreiben. Die Konstruktionen werden mit nur einer Zirkelöffnung ausgeführt.)Google Scholar
  110. 19.
    al-Qühi (Sarton, Int. Bd. 1, S. 665: al-Kühi) Abü Sahl al-Qühi Waigan ibn Rustam, aus Kuh, Tabaristan, war 988 bei einer astronomischen Beobachtung in Bagdad anwesend; schrieb mehrere Arbeiten im Anschluß an die Werke von Euklid und Archimedes, u. a. konstruierte er die Seite des regelmäßigen Siebenecks durch Schnitt einer Parabel und einer Hyperbel (Lösung einer kubischen Gleichung) [200].Google Scholar
  111. Samplonius, Y.: Die Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks nach Abü Sahl al-Qûhï Waigan ibn Rustam. Janus 50, 1963, S. 227–249.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  112. 20.
    al-Karagï Abü Bakr Muhammad ibn al-Hasan (al-Häsib) al-Karagï (al-häsib = der Rechner). Lebte in Bagdad, starb 1019/29.Google Scholar
  113. al-Käfi fï 1-hisäb. Genügendes über das Rechnen. Deutsch von A. Hochheim. 3 Teile. Halle 1878–1880.Google Scholar
  114. al-Fahri fï (sina’at a)l-gabr wa-l-muqäbala. Algebra, dem Wezir Fahralmulk gewidmet. Woepcke, F.: Extrait du Fakhri. Paris 1853. - [199].Google Scholar
  115. al-Badif fï 1-hisäb. L’algèbre. Al-badif d’al-Karagi. Ed. A. Anbüba. Beirut 1964.Google Scholar
  116. Diese Werke sind eine umfassende gründliche Darstellung der algebraischen Kenntnisse der Araber.Google Scholar
  117. Erst kürzlich wurde ein geologisch-hydrologisches Werk von al-Karagi entdeckt: „Die Erschließung verborgener Gewässer“. Es handelt vom Kreislauf des Wassers, dem Grundwasser und der Trinkbarkeit.Google Scholar
  118. Mehdi Nadji: Karadjis „Erschließung verborgener Gewässer“. Technikgeschichte Bd. 39, 1972, S. 11–23.Google Scholar
  119. 21.
    Ibn al-Haitam Abü Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haitam al Basri; al-Hasan wurde latinisiert zu Alhazen.Google Scholar
  120. Geb. 965 in Basra, ging nach Ägypten und versprach eine Nilregulierung, sah aber am Ort die Unmöglichkeit ein. Trotzdem erhielt er eine hohe Stellung beim Kalifen al-Häkim (996–1020). Aus Sorge wegen der Unberechenbarkeit des Kalifen täuschte er eine Geisteskrankheit vor und lebte in Hausarrest bis zum Tode des Kalifen. Dann wurde er wieder gesund und lebte in Kairo bis etwa 1041.Google Scholar
  121. Sein Hauptwerk: Kitäb fi’1-Manäzir. Schrift über die optischen Gegenstände. Es lag seit der Mitte des 13. Jh. in einer lateinischen Übersetzung vor. Diese bildete die Grundlage für das Lehrbuch von Witelo, entstanden zwischen 1270 und 1276. Einige weitere Schriften: Kitäb fi Hay’at al-’Alam. Schrift über den Aufbau der Welt. s. Schramm, Ph. S. 63 ff. Fi Daw’ al-Kamar. Über das Licht des Mondes. s. Schramm, Ph. S. 69 ff.Google Scholar
  122. Sharh Musaddarät Uklidis. Kommentar zu den einleitenden Sätzen Euklids. S. Schramm St., S. 3. (Darin Diskussion des Parallelenpostulats [213].) Das Buch der Kommentare zu den Einführungen der „Elemente“Euklids von Hasan ibn al-Haitäm. Übers, (russisch) von B. A. Rosenfeld. Istoriko-matematicheskie issledovanija 11, 1958, 743 ff.Google Scholar
  123. Schramm, M.: Ph.: Ibn al-Haythams Weg zur Physik. Wiesbaden: Steiner 1963.Google Scholar
  124. Schramm, M. St.: Ibn al-Haithams Stellung in der Geschichte der Wissenschaften. - Fikrun Wa Fann Nr. 6, 1965, S. 1–22. (S. 9: „Ibn al-Haytham entwickelt zum ersten Mal systematisch experimentelle Methoden. Nicht daß nicht schon vorher experimentiert worden wäre;… aber als systematisch verwendetes Arbeitsmittel ist das Experiment eine Errungenschaft Ibn al- Haythams.“)Google Scholar
  125. al-Birüni Abü al-Raihän Muhammad ibn Ahmad al-Birüni Geb. 973 in Kath (Choresmien), war bei den Eroberungszügen des Sultans Mahmüd von Gazna (1001–1026) in dessen Gefolge in Indien, kehrte nach dem Tod von Mahmüd nach Gazna zurück, starb dort 1048. Schriften: Chr.: Chronologie der alten Völker. (Geschrieben 1000) Ed. E. Sachau Leipzig 1878. Engl. Übers, von E. Sachau, London 1879. Nachdruck Frankfurt 1969.Google Scholar
  126. Ind.: Alberuni’s India. Ed. E. Sachau. London 1887. Engl. Übers, von E. Sachau. London 1888. Nachdruck Delhi 1964.Google Scholar
  127. Sehn.: Das Buch von der Auffindung der Sehnen im Kreise. Deutsche Übers, von H. Suter. Bibl. Math. (3) 11, 1910, S. 11–78.Google Scholar
  128. Trig.: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abu’l-Raihän Muh. ibn Ahmad al-Birüni. Ed. C. Schoy. Hannover 1927.[203].Google Scholar
  129. 23.
    L.Ibn SmäGoogle Scholar
  130. Abü’Ali al-Husain ibn’Abdalläh ibn SïnâGoogle Scholar
  131. Latinisiert: Avicenna, geb. 980 in Afsana bei Buchara, gest. 1037 in Hamadän. Galt in der Scholastik als eine der größten Autoritäten. Er schrieb u. a.: Kitäb al-sifa. Buch der Genesung der Seele. Eine philosophische Enzyklopädie. Qänün fï-1-tibb. Kanon der Medizin.Google Scholar
  132. al-Zarqäli Abu Ishaq Ibrahim ibn Yahya al-Naqqas. Lebte in Cordoba ca. 1029–1087. Astronom. Herausgeber der „Toledanischen Tafeln“(Planetentafeln) und Verfasser der Einleitung, die die Herstellung von trigonometrischen Tafeln beschreibt. Dieses Werk diente als Quelle für den Tractatus de sinibus, chordis et arcubus von Johannes von Gmunden, 1437.Google Scholar
  133. 25.
    Omar Hayyam Abü al-Fath fUmar ibn Ibrâhïm al-Hayyämi giyät al-DIn „der Zeltmacher“, geb. 1048 (?) in Nishapur, dort gest. 1131.Google Scholar
  134. Als Dichter berühmt durch seine Sonette Rubä’iyät.Google Scholar
  135. Gab für alle Typen kubischer Gleichungen geometrische Lösungen mit Kegelschnitten [202 f.].Google Scholar
  136. Alg. Woepcke: L’algèbre d’Omar Alkhayyämi. Arab. und franz. ed. F. Woepcke, Paris 1851.Google Scholar
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  138. Alg Rashed: L’oeuvre algébrique d’al-Khayyäm, établie, traduite et analysée par Rashdi Rashed et Ahmed Dhebbar. Aleppo 1981.Google Scholar
  139. Versuch eines Beweises des Parallelenpostulats [213]:Google Scholar
  140. Discussion of Difficulties in Euclid. By Omar Ibn Abrahim al-Khayyami (Omar Khayyam). Engl. Übers, von Ali R. Amir-Moez. Scripta Math. 24, 1959, 275–303.Google Scholar
  141. 26.
    Ibn Rusd (lat. Averroes) Geb. 1126 in Cordoba, wurde wegen seiner philosophischen Anschauungen nach Afrika verbannt, aber 1195 vom Kalifen Jüsuf wieder an seinen Hof in Marrakesch geholt. Er starb in Marrakesch 1198. „Der bedeutendste der arabischen Aristoteliker und der letzte arabische Denker, dessen Werk über die Sprach- und Religionsgrenze hinaus auf die Christenheit eingewirkt hat.“[G. E. von Grunebaum in Propyläen-Weltgeschichte Bd. 5, S. 167].Google Scholar
  142. 27.
    Näsir al-Dïn al-Tüsi Abü Ga’far Muhammad ibn al-Hasan, Nasir al-Dïn al-Tusï, al-Muhaqqiq, geb. 1201 in Tüs/Huräsän (Persien).Google Scholar
  143. Al-Tüsi war überzeugter Schiit und scharfer Gegner des sunnitischen Kalifats. Seine politische Tätigkeit brachte ihn in Kontakt mit dem Mongolenfürsten Hülägü Hän, dem er bei der Vorbereitung des Zuges gegen Bagdad wertvolle Dienste leistete. Nach der Eroberung der Stadt (1258) belohnte ihn Hülägü mit der Ernennung zu seinem Hofastrologen und stellte ihm überdies reichliche Mittel zur Erbauung einer Sternwarte in Marägha nahe dem Urmia-See im nordwestlichen Persien zur Verfügung. Nach der Eroberung der Stadt (1258) belohnte ihn Hülägü mit der Ernennung zu seinem Hofastrologen und stellte ihm überdies reichliche Mittel zur Erbauung einer Sternwarte in Marägha nahe dem Urmia-See im nordwestlichen Persien zur Verfügung.“[L. arab. W.] al-Tüsi starb 1274.Google Scholar
  144. Seine Hauptleistungen liegen auf dem Gebiet der Astronomie und Trigonometrie.Google Scholar
  145. Seinen Beweis des Parallelenpostulats (auf Grund eines anderen geeigneten Postulats) hat Edward Pocock auf Veranlassung von Wallis ins Lateinische übersetzt; diese Übersetzung ist in Wallis, Opera Bd. 2, S. 669–673 wiedergegeben. al-Tüsi wird auch von Saccheri (1733) zitiert.-[213].Google Scholar
  146. 28.
    al-Käsi Gamsid ibn Mas’üd ibn Mahmüd al-Käsi Geb. in Kasän, arbeitete an der von Ulug Beg errichteten Sternwarte in Samarkand, war Mitarbeiter der nach Ulug Beg benannten Tafeln. al-Käsi starb 1429 in Samarkand.Google Scholar
  147. Miftah al-hisäb. Schlüssel des Rechnens. Verfaßt 1427.Google Scholar
  148. P. Luckey: Die Rechenkunst bei Gamsid b. Mas’üd al-Käsi mit Rückblicken auf die ältere Geschichte des Rechnens. Abhandlungen für die Kunde des Morgenlandes 31,1, Wiesbaden: Steiner 1951.Google Scholar
  149. Eine zergliedernde und vergleichende Berichterstattung über ihren Inhalt“[S. VIII]. Darin u. a. Umrechnung von Sexagesimalbrüchen in Dezimalbrüche.Google Scholar
  150. P. Luckey: Der Lehrbrief über den Kreisumfang (ar-risäla al-muhitiya) von Gamsid b. Mas ud al-Käsi. Abh. der Akad. d. Wiss. Berlin, Math.-naturwiss. Kl 1950, 6. Berlin 1953. [214].Google Scholar
  151. Lösung einer kubischen Gleichung durch ein Iterationsverfahren [204].Google Scholar
  152. 29.
    Bahä’ al-Din Bahä’ al-Din Muhammad ibn al-Husain al-’Amili,Google Scholar
  153. geb. 1547 in Baalbek, lebte wahrscheinlich in Persien, starb 1622 in Isfahan. Behaeddin’s Essenz der Rechenkunst, arab. und deutsch ed. G. H. F. Nesselmann. Berlin 1843.Google Scholar
  154. Beha-eddin lebte in der spätesten Zeit der Blüte der arabischen Kultur, sein Werk ist gewissermaßen der letzte Blick, den ein Scheidender auf den Glanz früherer Jahre zurückwirft, um davon dem Gedächtnisse noch zu erhalten, was sich noch retten läßt.“Google Scholar
  155. In einem Abschnitt „Unlösbare Aufgaben“findet sich: „Eine Kubikzahl soll in zwei Teile geteilt werden, die auch Kubikzahlen sind.“Google Scholar

Zitierte Autoren des Abendlandes

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1984

Authors and Affiliations

  • Helmuth Gericke
    • 1
  1. 1.FreiburgGermany

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