Stationäre und nahezu stationäre Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Stationär nenne ich eine Differentialgleichung

$$f({{y}^{(m)}},{{y}^{(m-1)}},...,{{y}^{1}},y)=0,$$

in der die unabhängige Variable nicht explizite vorkommt. In den Anwendungen ist diese unabhängige Variable meist die Zeit. So erklärt sich die Benennung. Dieser § 3 wird sich vorwiegend mit dem stationären System

$$\left. {}_{\frac{dy}{dt}=g(x,y)}^{\frac{dx}{dt}=f(x,y),} \right\}$$

(3.1.1)

befassen. Hier ist nun wirklich die unabhängige Variable mit t bezeichnet, um x und y für die gesuchten Funktionen frei zu haben. Jede stationäre Differentialgleichung

$$\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=g(x,\frac{dx}{dt})$$

(3.1.2)

kann in der Form (3.1.1) geschrieben werden, wenn man x′ = y setzt. Dann wird aus (3.1.2)

$$\left. {}_{\frac{dy}{dt}=g(x,y).}^{\frac{dx}{dt}=y,} \right\}$$

(3.1.3)

Aber auch beliebige Differentialgleichungen erster Ordnung

$$\frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}$$

(3.1.4)

können in der Form (3.1.1) geschrieben werden. Hat man nämlich irgendeinen Lösungsbogen y = y (x) von (3.1.4), längs dem

$$f(x,y(x))\ne 0$$

bleibt, so kann man durch eine Quadratur längs des Bogens den Parameter t so einführen, daß

$$\frac{dx}{dt}=f(x,y(x))$$

(3.1.5)

ist.

In der Literatur finden sich statt „stationär“ auch die Begriffsnamen „konservativ“ oder „autonom“. Die nahezu stationären Differentialgleichungen gehen durch Anbringung von Störungsgliedern aus den stationären hervor.