Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung im reellen Gebiet

Zusammenfassung

Bisher hatten wir eine Lösung meist durch ihren Wert und den Wert ihrer Ableitung an einer Stelle festgelegt. Schon bei der Kettenlinie trat uns die Aufgabe entgegen, eine Lösung dadurch zu bestimmen, daß für zwei Werte von x die Werte der Lösung gegeben werden. Da diese in dem von diesen beiden Stellen begrenzten Intervall zu untersuchen ist und die Lösung somit durch Bedingungen an den Rändern des Intervalles festgelegt werden soll, so sprechen wir von einer Randwertaufgabe. Es gibt deren noch andere. Es wird immer darauf ankommen, durch zwei Bedingungen die beiden Integrationskonstanten festzulegen. Diese Bedingungen mögen durch zwei Gleichungen zwischen den Werten von y (x) und y′ (x) an den Enden des Intervalles x₀ ≦ x ≦ x₁ geliefert werden, und zwar wollen wir uns auf den Fall beschränken, daß eine lineare Differentialgleichung

$$ {p_0}y'' + {p_1}y\prime + {p_2}y + {p_3} = 0, $$

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vorgelegt ist, in der p ₀ , p ₁ , p ₂ , p ₃ in a ≦ x ≦ b stetig sein, p₀ nirgends verschwinden möge. Zwei lineare Gleichungen mögen die Randbedingungen liefern. Diese werden allgemein so aussehen:

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{00}}y\left( a \right) + {a_{01}}y\prime \left( a \right) + {a_{10}}y\left( b \right) + {a_{11}}y\prime \left( b \right) = A} \\ {{a^\prime }_{00}y\left( a \right) + {a^\prime }_{01}y\prime \left( a \right) + {a^\prime }_{10}y\left( b \right) + {a^\prime }_{11}y\prime \left( b \right) = {A^\prime }.} \end{array} $$

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