Differentialgleichungen erster Ordnung im komplexen Gebiet

Zusammenfassung

Für z-Werte, welche einem Bereich B der komplexen z-Ebene, und für w-Werte, welche cinem Bereich G der komplexen w-Ebene angehören, sei f (z, w) eine eindeutige, bis auf gewisse Singularitäten reguläre analytische Funktion. B₁ und G₁ seien abgeschlossene Teilbereiche von B und G. Auf diese werden z und w weiterhin beschränkt. Uns wird hier allein der Fall beschäftigen, daß f (z, w) für die genannten Werte (z, w) durchweg von rationalem Charakter ist. Wir wollen also f (z, w) als Quotient zweier in dem Bereiche regulärer Funktionen annehmen. Es sei $f\left( {z,\omega } \right) = \frac{{{f_1}\left( {z,\omega } \right)}}{{{f_2}\left( {z,\omega } \right)}}$ , wo f ₁(z,w) und f ₂ (z, w) im zugrunde gelegten Bereiche regulär sind. Dann stellen wir uns die Aufgabe, die Lösungen der Differentialgleichung

$$ \frac{{d\omega }}{{dz}} = \frac{{{f_1}\left( {z,\omega } \right)}}{{{f_2}\left( {z,\omega } \right)}} $$

(1)

in diesem Bereiche zu untersuchen. Solche Lösungen sind durch ihre Anfangsbedingungen bestimmt, und wir wissen von S. 51 her folgendes: Wenn die Anfangswerte z₀, w₀ so gewählt sind, daß f (z, w) an dieser Stelle regulär ist, daß also mit anderen Worten daselbst der Nenner nicht verschwindet, dann gibt es genau eine in der Umgebung von z₀ eindeutige reguläre Funktion w (z), für die w (z₀) = w₀ gilt und die der Differentialgleichung genügt. Wir wissen weiter, daß es auch keine andere nichtanalytische dieser Bedingung genügende Lösung gibt, ja man kann der Fußnote ¹ von S, 32 sogar entnehmen, daß es keine weitere der Bedingung $\mathop {\lim }\limits_{z \to z_0 } w\left( z \right) = w_0$ genügende Lösung gibt.