Diskussion des Verlaufs der Integralkurven

Zusammenfassung

In diesem Kapitel soll rein qualitativ ein Überblick über den Verlauf der Integralkurven gewonnen werden. Wir werden ihr Steigen und Fallen, ihre Konvexität und Konkavität, ihre Wendepunkte und einige weitere Dinge, die wir bald angeben werden, untersuchen. Zunächst soll in diesem Paragraphen angedeutet werden, wie man oft schon durch ganz simple Betrachtungen über die eben genannten Fragen Aufschluß gewinnen kann. Wenn die Differentialgleichung f (x,y,y’) = 0 vorgelegt ist, so stellt f (x, y, 0) = 0 im allgemeinen Kurven dar, welche die Teile des Geraden­feldes, in welchen die Integralkurven bei wachsendem x steigen, von denjenigen trennen, wo sie fallen². Differenziert man die Differentialgleichung nach x, so erhält man ${f_x} + {f_y} \cdot y' + {f_{y'}} \cdot y'' = 0$ . Daher sind die Wendepunkte der Integralkurven unter den Punkten (x, y) ent­halten, für die bei passender Wahl von y’ die beiden Gleichungen

$$ f\left( {x,y,y'} \right) = 0,\quad \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}y' = 0 $$

gelten. Diese Punktmenge oder Kurve, wenn man so sagen will, trennt die Teile des Richtungsfeldes, wo die Integralkurven konkav sind, von den-jenigen, wo sie konvex sind. Ohne weiteren Zusatz können diese An­gaben nur dann verwendet werden, wenn die Differentialgleichung in der Form y’ =F (x, y) vorgelegt ist, und wenn dabei F (x, y) in einem Bereich B samt seinen ersten Ableitungen als eindeutige und stetige Funktion erklärt ist.