Parabolische Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Die Theorie der parabolischen Differentialgleichungen ist bei weitem nicht so durchgearbeitet und entwickelt, wie die der hyperbolischen oder die der elliptischen. Schon bei den einfachsten Fragen der Existenz und Unität stößt man auf unerledigte Probleme. Ich will mich im folgenden damit begnügen, an Hand der Differentialgleichung der linearen Wärmeleitung einen Einblick in die Verhältnisse zu geben. Es ist dabei keine Beschränkung der Allgemeinheit, wenn ich die Differentialgleichung

$$ \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = 0 $$

(1)

zugrunde lege. Charakteristiken sind jetzt die Geraden t = konst. Die Analogie der hyperbolischen Differentialgleichungen legt die folgende Frage nahe: Man betrachte einen Bereich B,wie ihn Abb. 21 zeigt. Er ist außer durch eine Charakteristik noch durch einen Kurvenbogen L begrenzt. Nach den allgemeinen Existenzsätzen ist eine Lösung der Gleichung (1) jedenfalls bestimmt, wenn man einen nichtcharakteristischen Anfangsstreifen vorgibt. Die Lösung muß also bestimmt sein, wenn man längs L die Werte von u und von $\frac{{\partial u}}{{\partial x}}$ vorschreibt. Zunächst will ich auf einen merkwürdigen Umstand hinweisen, welcher der Stellung der parabolischen Differentialgleichung zwischen den hyperbolischen und den elliptischen entspricht: Es reichen nämlich manchmal die Werte von u selbst längs der Kurve hin, um die Lösung zu bestimmen, falls man noch die Zusatzforderung stellt, daß sie in dem von der Kurve L und der Charakteristik begrenzten Bereiche und auf seinem Rand zweimal stetig differenzierbar sein soll.