Die Indexformel im euklidischen Fall

Zusammenfassung

Im vorangehenden Paragraphen haben wir analytische Hilfsmittel — den Gochberg-Krein-Indexsatz für Wiener-Hopf-Operatoren — zum Beweis des Bottschen Periodizitätssatzes verwendet, aus dem wir nun einen Indexsatz für elliptische Integraloperatoren im IRⁿgewinnen wollen. Die zugrundeliegende Idee läßt sich vielleicht am einfachsten homotopietheoretisch beschreiben:

• Ein elliptischer Pseudodifferentialoperator der Ordnung k im IRⁿ sei in der Form

  $$(Pu)(x) = {(2\pi )^{ - n}}\int_{I{R^n}} {{e^{i{\text{ < }}x,\xi {\text{ > }}}}} p(x,\xi )\hat u(\xi )d\xi $$

  gegeben, wo u eine C^∞-Funktion auf IRⁿ mit kompaktem Träger und Werten in Cⁿ und die „Amplitude“ (s.o. § II.3) p eine N×N-Matrix-wertige Funktion mit

  $$\sigma (P)(x,\xi ){\text{: = }}\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to \infty } \frac{{p(x,\lambda \xi }}{{{\lambda ^k}}} \in GL(N,C),\quad \xi \ne 0$$

  sind. Für festes x haben wir also eine stetige Abbildung

  $$\sigma (P)(x,..) : S^{n-1} \rightarrow GL (N,C),$$

  die für gerades n und hinlänglich großes N einen wohldefinierten Grad besitzt, der aus Stetigkeitsgründen (IRⁿ ist zusammenhängend) nicht von x abhängt und den wir in Anmerkung 2 nach Satz II.7.1 mit grad(P) bezeichnet haben.