Sobolewräume (Steilkurs)

Zusammenfassung

Wie können wir nun das analytische Konzeipt der „Differentialoperatoren“ und „Pseudodifferentialoperatoren“ in den funktionalanalytischen Rahmen der „Hilbertraumtheorie“ (s.o. Kapitel I) einpassen? Dafür bietet sich zunächst das L²-Konzept der Lebesgue-meßbaren> quadratisch summierbaren Funktionen an> das sich in natürlicher Weise auf Schnitte in einem Hermiteschen Vektorbündel E über einer Riemannschen Mannigfaltigkeit X übertragen läßt: Ein (nicht notwendig stetiger) Schnitt u : X → E repräsentiert ein Element von L²(E), wenn ∫ _x <u,u><∞ ist. Dabei ist <..,..> eine Hermitesche Metrik für das Vektorbündel E, <u,u> also eine komplexwertige Funktion auf X, die bezüglich des durch die Riemannsche Struktur von X definierten Volumenelementes i2n tegriert wird (s.o. §2, Abschnitt C). Mit den üblichen Identifizierungen wird L²(E) so ein Hilbertraum.