Martingale

Zusammenfassung

Sei (ξ_i)_i∈N eine Folge von unabhängigen identisch verteilten zufälligen Variablen, welche nur zwei Werte, z.B. +1 und -1, mit den Wahrscheinlichkeiten p und 1-p annehmen. Wir wollen die ξ_i wie folgt interpretieren: Eine Münze werde unendlich oft geworfen, und es sei ξ_n=+l oder gleich -1, je nachdem ob beim n-ten Wurf „Kopf“ oder „Zahl“ geworfen wurde. Wir nehmen ferner an, daß beim n-ten Wurf um den Einsatz e_n ≥ 0 gespielt wird, d.h. wir gewinnen den Betrag e_n, falls ξ_n=1, und verlieren den Betrag e_n, falls ξ_n=-1 Eine Spielstrategie ist nun eine Vorschrift, die den Einsatz beim n-ten Spiel festlegt, und zwar in Abhängigkeit von den Ergebnissen der vorausgegangenen n-1 Würfe; m.a.W. besteht eine Strategie aus einer Folge von Funktionen E_n-1: {-l,l}^n-1 → R₊ derart, daß E_n-1(ξ₁,…,ξ_n-1) den Einsatz e_n beim n-ten Spiel bezeichnet. Ist a unser Startkapital, e₁, der Einsatz l beim ersten Wurf und S_n unser Guthaben nach dem n-ten Wurf, so ist S_n eine zufällige Variable mit

$$S_{1} = a + \xi_{1} e_{1}$$

und

$$S_{n} = s_{n+1} + \xi_{n} \cdot E_{n-1} \cdot (\xi_{1}, \ldots, \xi_{n-1}), n \ge 2.$$