Metrische Räume

Zusammenfassung

Es sei X eine Menge. Wir nennen X ein metrischer Raum, falls auf X×X eine nicht negative Funktion ρ (x,y) ≥ o, x, y ∈ X gegeben ist, die „Metrik“ genannt wird, und den folgenden Bedingungen genügt:

• (1) ρ(x,y) = 0 genau dann, wenn x=y

• (2) ρ(x,y) = ρ(y,x)

• (3) ρ (x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y) (Dreiecksungleichung)

Die zwei Punkten x,y ∈ X zugeordnete Zahl ρ(x,y) heißt dann „Abstand“ des Punktes x vom Punkt y. Wir bemerken, daß nach (2) dieser Abstand gleich dem Abstand des Punktes y vom Punkte x ist. Die Menge der Punkte, deren Abstand vom Punkte x₀ kleiner als eine positive Zahl r ist, also ${\rm K_r(x_0 ) = \{ x \in X:\rho (x,x_0 ) < r\}}$ heißt „Kugel“ mit Radius r um den Mittelpunkt x₀, und ${{\bar{k}}_{r}}({{x}_{o}}) = \{ x \in X:\rho (x,{{x}_{o}}) \leqslant r\}$ heißt die „abgeschlossene Kugel“ mit Radius r und Mittelpunkt x₀. Die Menge derjenigen Punkte, deren Abstand vom Punkte x₀ genau gleich r ist, also

$${{\text{s}}_{\text{r}}}({{\text{x}}_{\text{o}}}) = \{ {\text{x}} \in {\text{x:}}\rho {\text{(x,}}{{\text{x}}_{\text{o}}}{\text{) = r}}\} $$

heißt „Sphäre“ mit Radius r und Mittelpunkt x₀.