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Metrische Räume

  • Stefan Rolewicz
Part of the Hochschultext book series (HST)

Zusammenfassung

Es sei X eine Menge. Wir nennen X ein metrischer Raum, falls auf X×X eine nicht negative Funktion ρ (x,y) ≥ o, x, y ∈ X gegeben ist, die „Metrik“ genannt wird, und den folgenden Bedingungen genügt:
  1. (1)

    ρ(x,y) = 0 genau dann, wenn x=y

     
  2. (2)

    ρ(x,y) = ρ(y,x)

     
  3. (3)

    ρ (x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y) (Dreiecksungleichung)

     
Die zwei Punkten x,y ∈ X zugeordnete Zahl ρ(x,y) heißt dann „Abstand“ des Punktes x vom Punkt y. Wir bemerken, daß nach (2) dieser Abstand gleich dem Abstand des Punktes y vom Punkte x ist. Die Menge der Punkte, deren Abstand vom Punkte x0 kleiner als eine positive Zahl r ist, also \( {\rm K_r(x_0 ) = \{ x \in X:\rho (x,x_0 ) < r\}}\) heißt „Kugel“ mit Radius r um den Mittelpunkt x0, und \({{\bar{k}}_{r}}({{x}_{o}}) = \{ x \in X:\rho (x,{{x}_{o}}) \leqslant r\}\) heißt die „abgeschlossene Kugel“ mit Radius r und Mittelpunkt x0. Die Menge derjenigen Punkte, deren Abstand vom Punkte x0 genau gleich r ist, also
$${{\text{s}}_{\text{r}}}({{\text{x}}_{\text{o}}}) = \{ {\text{x}} \in {\text{x:}}\rho {\text{(x,}}{{\text{x}}_{\text{o}}}{\text{) = r}}\} $$
heißt „Sphäre“ mit Radius r und Mittelpunkt x0.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1976

Authors and Affiliations

  • Stefan Rolewicz
    • 1
  1. 1.Instytut MatematycznyPolskiej Akademii NaukWarszawaPoland

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