Überlagerungen

Zusammenfassung

Die Theorie der Riemannschen Flächen verdankt ihren Ursprung der Tatsache, daß bei der analytischen Fortsetzung holomorpher Funktionen längs verschiedener Wege verschiedene Funktionswerte entstehen können. Setzt man deshalb einen holomorphen Funktionskeim unbegrenzt analytisch fort, so entsteht eine i. a. mehrdeutige Funktion. Um wieder zu eindeutigen Funktionen zu gelangen, ersetzt man den Definitionsbereich durch eine über der komplexen Ebene gelegene mehr-blättrige Fläche, die über jedem Grundpunkt soviele Punkte besitzt, wie die fort-gesetzte analytische Funktion verschiedene Funktionskeime aufweist. Auf dieser „Überlagerungsfläche“ wird die analytische Funktion dann eindeutig. Abstrahiert man von der Tatsache, daß die Fläche über der komplexen Ebene (oder Zahlen-kugel) ausgebreitet ist, erhält man den allgemeinen Begriff der Riemannschen Fläche als Definitionsbereich analytischer Funktionen einer Veränderlichen.