Die Schätzung des Mittelwerts μ einer Normalverteilung mit bekannter Varianz σ2; Gleichverteilung von μ als priori-Verteilung

  • Kurt Stange
Part of the Hochschultext book series (HST)

Zusammenfassung

Wenn man die Gestalt der Verteilung von μ nicht kennt, sondern lediglich weiß, daß μ im Bereich
$$a \leqslant \mu \leqslant b\,,\quad b > a\;,$$
(7.1)
auftritt, so liegt es nahe, als priori-Verteilung für μ eine Gleichverteilung im Bereich (7.1) mit der Dichte anzusetzen. Bei gegebenem μ wird die Zufallsgröße x (wie im Abschnitt 6) als normal verteilt vorausgesetzt mit der Dichte
$$\psi \left( {x|\mu } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\exp \left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{x - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}} \right],$$
(7.3)
so daß auch die Likelihood L(x1; x2; … ;xn | μ) aus (6.6) ungeändert bleibt. Durch Einsetzen von priori-Dichte (7.2) und Likelihood (6.6) in (5.12) erhält man die pösteriori-Dichte für μ bei gegebenem \(\overline x \) in der Gestalt
$$\psi \left( {\mu \left| {\overline x } \right.} \right) = k\exp \left[ { - \frac{n}{2}{{\left( {\frac{{\mu - \overline x }}{\sigma }} \right)}^2}} \right];a\underline \angle \mu \underline \angle b,$$
(7.4)
wobei die konstante priori-Dichte (7.2) in der Konstanten k enthalten ist. Zur Bestimmung der Konstanten k integriert man ψ(μ|\(\overline x \)) im Bereich \(a \leqslant \mu \leqslant b\). Zu dem Zweck setzt man
$$\psi \left( {x|\mu } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\exp \left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{x - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}} \right],$$
(7.5)
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Copyright information

© Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1977

Authors and Affiliations

  • Kurt Stange
    • 1
  1. 1.Institut für Statistik und WirtschaftsmathematikGermany

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