Invariante Unterräume

Zusammenfassung

Bereits im III. Kapitel wurde das Eigenwertproblem einer linearen Selbstabbildung formuliert. Es besteht darin, diejenigen Vektoren aufzusuchen, die bei der Abbildung nur eine Multiplikation mit einem Faktor erfahren. Der von einem Eigenvektor erzeugte eindimensionale Unterraum ist dann bezüglich der Abbildung invariant, d. h. er wird in sich übergeführt. Ist der Raum Euklidisch und die Abbildung selbstadjungiert, so zerfällt er in lauter eindimensionale Unterräume. Im allgemeinen ist dies natürlich nicht richtig, es braucht ja gar keine Eigenvektoren zu geben. Somit liegt es nahe, die Aufgabe dahin zu verallgemeinern, daß man auch höherdimensionale invariante Unterräume zuläßt und verlangt, daß diese sich nicht ihrerseits als direkte Summe von invarianten Teilräumen darstellen lassen. In § 5 wird gezeigt, wie man eine Zerlegung in solche Unterräume konstruieren kann. Dabei ergeben sich in natürlicher Weise für die Matrix der Abbildung gewisse Normalformen.