Translationsebenen

  • Günter Pickert
Part of the Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 80)

Zusammenfassung

Eine affine Ebene A = Eω wird als Translationsebene bezeichnet [6], wenn die Gruppe T ihrer Translationen, also die Gruppe der zentralen Kollineationen mit Achse ω und Zentrum ∈ω, transitiv ist hinsichtlich der Menge aller Punkte von A. Man erkennt sofort, daß dies gleichbedeutend ist mit der (ω, ω)-Transitivität von E, also mit der Gültigkeit des affinen kleinen Desarguesschen Satzes in A. Nach Satz 38 von S. 101 ist A also genau dann eine Translationsebene, wenn einer — und damit jeder — ihrer Ternärkörper bezüglich O, U, V, E mit UV=ω Quasikörper ist. Nach Satz 25 von S. 38 und Satz 38 von S. 101 kann man zu einem Quasikürper K stets eine Translationsebene angeben, welche bezüglich passend gewählter Punkte O, U, V, E einen zu K isomorphen Ternärkörper besitzt. Eine solche affine Ebene wird im folgenden als Translationebene über K bezeichnet. Verwendet man die Bezeichnungen von 3.5, so sind die Elemente von T gerade die Abbildungen \( (x,y) \to (x + a,y + b) \) denn eine solche ist das Produkt der (V, UV)-Kollineation \( (x,y) \to (x + a,y + b) \) mit der (U, UV)-Kollineation \( (x,y) \to (x + a,y) \) (vgl. S. 100), und sie führt ferner den Punkt O=(0,0) in den beliebig vorgebbaren Punkt (a, b) über. Wegen Satz 31 von S. 91 gilt somit:
  1. 1.

    Die Translationsgruppe einer Translationsebene ist kommutativ.

     

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1975

Authors and Affiliations

  • Günter Pickert
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutJustus Liebig-Universität GießenGermany

Personalised recommendations