Iteration mit monotonen Operatoren

Zusammenfassung

Zum Abschluß unserer theoretischen Untersuchungen soil in diesem Kapitel der abstrakte Rahmen dargestellt werden, welchen wir für weitere iterative Methoden sowie Existenzaussagen in den Kapiteln VI und VII benötigen werden. Wir verlassen das Konzept der Abstandsräume aus Kapitel IV in seiner allgemeinen Form und betrachten hier nur den Sonderfall eines h. n. Raumes. Wie in Kapitel IV konstruieren wir geeignete Mengen, welche durch einen vorgelegten Operator T in sich abgebildet werden. Dabei handelt es sich nunmehr ausschließlich um Intervalle. Das topologische Prinzip, welches dann eine Lösung der Gleichung x = Tx in dem Intervall garantiert (vgl. auch die Einleitung zu Kapitel IV), besteht in § 1 aus einem Konvergenzkriterium für monotone Folgen, welches sich aus der Vollstetigkeit von T im Zusammenspiel mit der Normalität der Ordnungsrelation ergibt (vgl. (II, 2.4)) und gleichzeitig eine Verallgemeinerung der Konvergenzverhältnisse monotoner Zahlenfolgen darstellt. Die soweit benutzten mehr elementaren Hilfsmittel der Mengentopologie scheinen für die Ergebnisse von § 2 nicht mehr auszureichen. Dort werden wir uns auf den viel tiefer liegenden Fixpunktsatz von J. Schauder (2.2) stützen. Die sich dabei naturgemäß ergebenden Fehlerabschätzungen für eine Lösung sind für praktische Bedürfnisse häufig zu grob, in verwickelten Fällen sogar numerisch kaum realisierbar.