Vollständige Minimalflächen

Zusammenfassung

Der Beweis des Bernsteinschen Satzes aus § 130, demzufolge eine über der ganzen (x, y)-Ebene P definierte Minimalfläche S = z = z (x, y); (x, y) ∈ P eine Ebene sein muß, läßt sich in zwei Schritte aufgliedern. Die Fläche ist offensichtlich im Sinne des § 54 vollständig. Wie in § 129 bewiesen, hat diese Tatsache zur Folge, daß S von konform parabolischem Typ sein muß. Nunmehr erinnere man sich, daß die in § 124 definierte Funktion Ω auf S analytisch und beschränkt ist. Mit anderen Worten: Das sphärische Bild der Fläche S liegt ganz in einer Halbkugel. (Unter dem sphärischen Bild verstehen wir wie in §§ 56, 147 immer die Bildpunktmenge auf der Einheitskugel unter der Abbildung durch den Normalvektor.) Die gewünschte Aussage ergibt sich nun als Anwendung des Liouvilleschen Satzes der Funktionentheorie.