HILBERTs Beweistheorie

Zusammenfassung

1. Frühere Arbeiten HILBERTs. Die Entwicklung von HILBERTs Gedankengang läßt sich durch eine Reihe von Vorträgen mit seltener Klarheit und Vollständigkeit verfolgen. Seine Theorie entfaltet sich von zwei Hauptgesichtspunkten aus, nämlich erstens der Anwendung der axiomatischen Methode auch auf die Analysis, zweitens dem von POINCARÉ herrührenden Gedanken, mathematische Existenz als Widerspruchsfreiheit zu definieren.^; In [3] gibt er ein Axiomensystem für die Arithmetik der reellen Zahlen an; es macht den Eindruck, als ob dieses System weniger eine autonome Begründung der Analysis als eine genaue Umschreibung derjenigen Eigenschaften, die zu ihrem Aufbau notwendig sind, bezweckt. Das Problem der Widerspruchslosigkeit wird an dieser Stelle kaum gestellt. Es wird in dem berühmten Pariser Vortrag [2] in den Vordergrund geschoben; hier wird aber nicht recht klar, mit welchen Mitteln es gelöst werden soll, wenn die Arithmetik nicht zur Verfügung steht. Auch der Existenzbegriff ist noch nicht von jeder Unklarheit befreit: einerseits gilt auch flier die schon friiher gemachte Bemerkung, daB das axiomatische System nur dann einen Sinn hat, wenn es auf irgendeine „existierende“ Realisierung angewandt wird; andererseits soil die Existenz der Gegenstände der Arithmetik erst durch die Widerspruchsfreiheit der Axiome gewahrleistet werden. Diese Schwierigkeit wurde erst durch die Beweistheorie von 1922 beseitigt.