Homotopie- und Erweiterungssätze für Abbildungen

Zusammenfassung

Unter einem „Homotopie“-Satz verstehen wir einen Satz, in welchem von zwei Abbildungen, die gewisse Voraussetzungen erfüllen, behauptet wird: sie sind einander homotop (Kap. VIII, § 3); unter einem „Erzveiterungs“-Satz verstehen wir einen Satz, in welchem von einer Abbildung, die eine Teilmenge P ₀ eines topologischen Raumes P in einen topologischen Raum Q abbildet und gewisse Voraussetzungen erfüllt, behauptet wird: sie läßt sich zu einer Abbildung von P in Q erweitern. Ohne daß systematisch eine Homotopie- und Erweiterungstheorie aufgebaut wird, werden in diesem Kapitel solche Homotopie- und Erweiterungssätze dargestellt, die sich in die Homologie-Theorie einordnen lassen. In der Homologietheorie der früheren Kapitel sind Sätze folgender Art enthalten: I. „Wenn zwei Abbildungen einander homotop sind, so sind sie einander vollständig homolog“ (Kap. VIII, § 3). II. „Wenn sich die Abbildung f des Teilpolyeders P ₀ des Polyeders P in das Polyeder Q zu einer Abbildung von P in Q erweitern läßt, so hat sie notwendigerweise die folgende Eigenschaft: für jeden Zyklus z in P ₀, welcher ∿ 0 in P ist, ist f(z) ~ 0 in Q“ (denn ist z = C, C ∈ P, so ist f(z) = f(C), f(C) ⊂ Q)