Grundlegung der projektiven Geometrie

Zusammenfassung

Wir haben oben (S. 194) gesagt, daB von der projektiven Geometrie aus sich ein natürlicher Weg zur Begründung der Geometrie ohne Parallelenpostulat eröffnet. Dazu müssen wir aber versuchen, die projektive Geometrie unabhängig vom Parallelenpostulat aufzubauen. Bei diesem Versuch stoßen wir sogleich auf folgende Schwierigkeit: Wenn durch jeden Punkt P außerhalb a in der Ebene durch P und a eine und nur eine a nicht schneidende Gerade geht, können wir durch Einführung der unendlich fernen (uneigentlichen) Punkte den Satz ausnahmslos gültig machen: zwei Geraden einer Ebene haben stets einen Punkt gemeinsam (nämlich einen endlichen oder unendlich fernen). Wir brauchen nur noch die unendlich fernen Punkte alle als auf einer (uneigentlichen) Geraden, der unendlich fernen Geraden liegend zu definieren, damit der zweite Grundsatz wieder gültig ist: zwei Punkte bestimmen stets eine und nur eine (endliche oder unendlich ferne) Gerade. Ebenso können wir im Raum durch Hinzufiigung der Elemente der unendlich fernen Ebene die entsprechenden Sätze für den Raum ausnahmslos gültig machen. Auf Grund dieser Sätze können wir dann sofort die Unzerstörbarkeit des harmonischen Punktquadrupels durch Projektion nachweisen und weiter einen Hauptteil der projektiven Geometrie entwickeln. Lange nicht so einfach wird dieser Weg, wenn wir jetzt das Parallelenpostulat fortlassen oder vielmehr über Bolyai und Lobatschewskij hinausgehend mit Riemann nur Voraussetzungen über ein beschränktes Raumstück benutzen wollen.

Für die selbständige Begründung der proj. Geom. ist das Werk von v. Staudt, „Geometrie der Lage“ (Nürnberg 1847) von entscheidender Bedeutung. Jedoch ist sein Ziel, die projektive Geometrie ganz ohne metrische Hilfsmittel zu begründen, nicht ganz befriedigend zu erreichen. Denn die Stetigkeitsvoraussetzungen, die man bei Nichtbenutzung metrischer Postulate notwendig braucht, sind ohne metrische Vorstellung nicht zwanglos empirisch zu begründen, vgl. Kap. III, § 2. — Über die historische Entwicklung orientieren die Encyclopädieartikel III AB4a Fano und III AB 5 Schoenflies (insbes. Nr. 17 und 18).