Advertisement

Flächentheorie im Großen

  • Wilhelm Klingenberg
Part of the Heidelberger Taschenbücher book series (HTB, volume 107)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir Probleme behandeln, die sich auf Flächen beziehen, welche nicht notwendig durch ein einziges Koordinatensystem beschrieben werden können.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. 1.
    Hadamard, J.: Sur certaines propriétés des trajectoires en dynamique. J. Math. Pures Appl. (5) 3, 331–387 (1897). -S. a. Hopf [A 9], [A 10] und Chern [A 5].Google Scholar
  2. 2.
    Herglotz, G.: Über die Starrheit der Eiflächen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 15, 127–129(1943).CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  3. 4.
    Minkowski, H.: Volumen und Oberfläche. Math. Ann. 57, 447–495 (1903).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  4. 5.
    Liebmann, H.: Eine neue Eigenschaft der Kugel. Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 44–55 (1899). -Für weitere Literatur s. das Buch von Efimow in Anmerkung 3.Google Scholar
  5. 6.
    Bonnet, O.: Mémoire sur la théorie generale des surfaces. Journal de l’Ecole Polytechnique 19, H. 32, 1–146 (1848).Google Scholar
  6. 7.
    Jacobi, C. G. J.: Über einige merkwürdige Curventheoreme. Schumacher Astronom. Nachr. 20, Nr. 463, 115–120 (1842).Google Scholar
  7. 8.
    Hopf, H., Rinow, W.: Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Flächen. Math. Ann. 116, 749–766 (1938).Google Scholar
  8. 10.
    Sturm, J. C. F.: Memoire sur les équations différentielles du second ordre. J. Math. Pures Appl. 1, 106–186 (1836).Google Scholar
  9. 11.
    Bonnet, O.: Sur quelques propriétés des lignes géodésiques. C. R. Acad. Sci. Paris 40,1311–1313 (1855).Google Scholar
  10. 13.
    Vgl. Klingenberg, W.: Über riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Krümmung. Comment. Math. Helv. 35, 47–54 (1961).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  11. 14.
    Hadamard, J.: Les surfaces à courbures opposées. J. Math. Pures Appl. (5) 4, 27–73 (1889).Google Scholar
  12. 15.
    Vgl. Preissmann, A.: Quelques propriétés globales des espaces de Riemann. Comment. Math. Helv. 15, 175–216 (1943).CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  13. 16.
    Weyl, H.: Über die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. Vierteljahrsschrift Naturforsch. Gesellschaft Zürich 1916, 40–72.Google Scholar
  14. 16a.
    Lewy, H.: On the existence of a closed surface realizing a given Riemannian metric. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 24, 104–106 (1938).CrossRefGoogle Scholar
  15. 16b.
    Pogorelow, A. W.: Die Verbiegung konvexer Flächen. Moskau: Staatsverlag f. techn.theor. Literatur 1951 (russisch). Deutsche Übersetzung: Berlin: Akademie-Verlag 1957.Google Scholar
  16. 16c.
    Nirenberg, L.: The Weyl and Minkowski problems in Differential Geometry in the Large. Comm. Pure Appl. Math. 6, 337–394 (1953).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  17. 18.
    Pogorelow, A. W.: Ein Theorem über Geodätische auf geschlossenen konvexen Flächen, Mat. Sb. N. S. 18 (60), 181–183 (1946) (russisch). Der Beweis scheint nicht ganz vollständig zu sein. Für einen anderen Beweis s.Google Scholar
  18. 18a.
    Klingenberg, W.: Neue Ergebnisse über konvexe Flächen. Comment. Math. Helv. 34, 17–36 (1960).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  19. 19.
    Lusternik, L., Schnirelmann, L.: Sur le problème de trois géodésiques fermèes sur les surfaces de genre O. C. R. Acad. Sci. Paris 189, 269–271 (1929).MATHGoogle Scholar
  20. 19a.
    Eine ausführliche Darstellung des Beweises findet sich in Lyusternik, L.: The topology of funetion spaces and the calculus of variations in the large. Trudy Mat. Inst. Steklov 19 (1947) (russisch). -Englische Übersetzung: Translations of Math. Monographs Vol. 16, Amer. Math. Soc, Providence, R. I. 1966.Google Scholar
  21. 20.
    Hopf, E.: Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leigzig 91, 261–304 (1939).MathSciNetGoogle Scholar
  22. 20a.
    Für die neuere Entwicklung s. Anosov, D. V.: Geodesic flows on closed Riemannian manifolds with negative curvature. Trudy Mat. Inst. Steklov 90 (1967) (russisch). -Englische Übersetzung: Proc. Steklov Inst. Math. 90 (1967). Amer. Math. Soc, Providence, R. I. 1969.Google Scholar
  23. 21.
    Green, L.: Auf Wiedersehensflächen. Ann. of Math. 78, 289–299 (1963).CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  24. 22.
    Vgl. Darboux [A 6], Teil III, Buch VI, Kapitel 1. -Zoll, O.: Über Flächen mit Scharen geschlossener geodätischer Linien. Math. Ann. 57, 108–133 (1903).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  25. 22a.
    S. ferner Berger, M.: Lectures on Geodesics in Riemannian Geometry. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1965.MATHGoogle Scholar
  26. 23.
    Hopf, E.: Closed surfaces without conjugate points. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 34, 47–51 (1948).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  27. 24.
    Für eine ausführliche Darstellung der vorstehenden Ergebnisse mit Literaturhinweisen s. Karcher, H.: Schnittort und konvexe Mengen in vollständigen riemannschen Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 177, 105–121 (1968).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  28. 25.
    Cohn-Vossen, S.: Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen. Compositio Math. 2, 69–133 (1935).MATHMathSciNetGoogle Scholar
  29. 25a.
    Cohn-Vossen, S.: Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfach-zusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken. Rec. Math. Moscou 1, 139–164 (1936).MATHGoogle Scholar
  30. 26.
    Die letztgenannten Resultate lassen sich großenteils auf vollständige riemannsche Mannigfaltigkeiten positiver Krümmung von beliebiger Dimension übertragen, s. hierzu Gromoll, D., Meyer, W.: On complete open manifolds of positive curvature. Ann. of Math. 90, 75–90 (1969).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1973

Authors and Affiliations

  • Wilhelm Klingenberg
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut der Universität Bonn53 BonnDeutschland

Personalised recommendations